5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与 最大(小)值(1) 高二数学组 2023-02-07 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标: 1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、能够利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值 3、体会导数与单调性、极值、最(大)小值得关系 教学重难点: 重点:利用导数求函数的极值、最(大)小值 难点:含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题 博学 笃志 雅行 厚德 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f ′(x)>0 ,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f ′(x)<0 ,那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 复习回顾 2.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤: 第3步,用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f ′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步,求出导数f ′(x)的零点; 第1步,确定函数f (x)的定义域; 博学 笃志 雅行 厚德 问题1 如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢? 单调递增 单调递减 探究新知 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图,我们发现,当 t = a 时,高台跳水运动员距水面的高度最大. O t a b h 博学 笃志 雅行 厚德 追问1:如图,函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 问题2 对于一般的函数y=f(x),是否具有同样的性质? 探究新知 函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 博学 笃志 雅行 厚德 追问2:y=f(x)在这些点处的导数值是多少? 探究新知 f ′(a)=0 f ′(b)=0 问题2 对于一般的函数y=f(x),是否具有同样的性质? 博学 笃志 雅行 厚德 追问3:在这些点附近,函数y=f(x)导数的正负有什么规律? 探究新知 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 问题2 对于一般的函数y=f(x),是否具有同样的性质? 博学 笃志 雅行 厚德 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值(extremum). 概念形成 极值点与极值的定义: 博学 笃志 雅行 厚德 问题3 极大值一定大于极小值吗? 探究新知 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 极小值 极大值 博学 笃志 雅行 厚德 问题4 若 f ′(x0)=0 ,则 x0是否为极值点? 探究新知 x y O y=x3 解:函数f(x)= x3, f ′(x)=3x2 当x=0时, f ′(0)=0 当x≠0时, f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. 追问:x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点? 博学 笃志 雅行 厚德 问题4 若 f ′(x0)=0 ,则 x0是否为极值点? 探究新知 x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 f ′(x0)=0 结论:f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 f’(x)=x2-4=(x+2)(x-2) 令f’(x)=0,解得x=-2,或x=2 当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如表所示 博学 笃志 雅行 厚德 x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f '(x) 0 0 f (x) – + + 单调递增 单调递减 单调递增 -2 O x y 2 博学 笃志 雅行 厚德 归纳方法 一般地,可按如下方法求函数y=f (x)的极值: 解方程f ′(x)=0,当f ′(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ,右侧f ′(x)<0 ,那么f (x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ,右侧f ′(x)>0 ,那么f (x0)是极小值. + - - + x0 博学 笃志 雅行 厚德 巩固练习 1.求下列函数的极值: (1)