第一章《复习题》 利用平方差公式简化运算 教案 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册第一章《复习题》 利用平方差公式简化运算 一、学生情况： 学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识以及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了知识技能基础. 学生活动经验基础：学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定自主探究意识以及与同伴合作交流的能力. 2、 教学目标 1.学生经历了平方差公式的探索和推导过程，并能够运用平方差公式进行简单计算.本节课的学习任务，是对平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去. 2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力. 3.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 三、教学重点：利用平方差公式简化有关数的运算. 教学难点：在具体的数学活动中建立平方差公式模型. 四、教学过程 （一）复习回顾 1.平方差公式： 2.利用平方差公式计算时，应该注意的事项。 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号 设计目的：在复习平方差公式知识的基础上，为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备. (二)、探究新知 活动一、计算下列各组算式，并观察它们的共同特点 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= (1) 从以上过程中，你发现了什么规律？ (2)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (3)尝试计算：①20182-2016×2020 ②97×103-1002 设计目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这个过程包括了符号表示和符号运算，学生通过（1）中各组算式的特点，提出猜想，并且可以利用字母表示出这一猜想（a-1）（a+1）=a2-1，然后利用平方差公式计算得到（a-1）（a+1）=a2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为（3）中数的简便运算做好知识的铺垫.（3）题学生总结出“连续两个整数的乘积等于它们平均数的平方与这三个数差的平方的差”。 即较大数×较小数=平均数2-三数差2 活动二：1.计算下列各式： （1） (a-1)(a+1)(a2+1) （2） （2-1）（2+1）（22+1） 你发现了什么？ 尝试计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×……×（21024+1）的值. 分析：通过观察发现，给上式乘以（2-1），则（2-1）（2+1）=22-1，连用平方差公式，将结果（22-1）再与（28+1）相乘，得24-1，以此类推，2的指数依次乘以2,210=1024，则（21024+1）的前面的结果就是（21024-1），则继续用平方差公式（21024-1）（21024+1）=22048-1. 设计目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，感受通过连续运用平方差公式进行简便运算，遇到两数和乘以这两数的差配成平方差公式，进而简化一些复杂的数的运算。 活动三：1.计算下列各式：（1） x2-y2 （2） 502-492 你发现了什么？尝试计算1002-992+982-972+962-952+……+42-32+22-12. 分析：通过观察发现，每两个数可以分为一组，则共有50组，每组的两个数均是平方差的形式，所以逆用平方差公式即可写为（100-99） （100+99）+（98-97）（98+97）+（96-95）（96+95）+……+（4-3）（4+3）+（2-1）（2+1），这时，不要急于计算，通过观察可以发现，两个数的差均为1，则上式就转化为100+99+98+97+……+4+3+2+1.再利用前n项和的公式即可求得（100+1）×100÷2=5050。也有同学可能将100+99算出来，即199+195+191+……+7+3，则仍然利用前n项和公式计算，只是项数变为50项。 设计目的：通过两个简单的特例让学生感受，逆用平方差公式，再利用前n项和公式，进行简便运算，提高学生的解题技巧，从而培养学生的发散思维。 (三)巩固练习，提高升华 1.计算下列各式: 12-（