第02讲 一定是直角三角形吗（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 一定是直角三角形吗 1.熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题. 2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数. 3.熟练掌握分类讨论的数学思想. 知识点01 勾股定理的逆定理 1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形. 2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形. 证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x. 根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0 ∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形 注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形. 【微点拨】 1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形. 知识点02 勾股数 1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数 2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数.在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2. 题型01 勾股树(数)问题 【典例1】（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14 【变式1】（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（　　） A． 、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型02 判断三边能否构成直角三角形 【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的是直角三角形的是（    ） A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1，，2 【变式1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．13，14，15 【变式2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（    ） A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5 题型03 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【典例1】（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形． 【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个． 题型04 在网格中判断直角三角形 【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为_________．    【变式1】（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题． （1）求的周长； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由. 【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级期末）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)的周长； (2)请判断是否是直角三角形，并说明理由． 题型05 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°． (1)求BD的长． (2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？ 【变式1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，于点D，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求点D到的距离之和． 【变式2】（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：    (1)四边形的面积．（结果保留