重难点专题05：空间向量与立体几何（高考真题过关）-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点专题05：空间向量与立体几何-近三年高考真题赏析 1．（2023·北京·统考高考真题（第17题））如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点． (1)求证：EF//平面PBC； (2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长． 条件①：；条件②：． 2．（2023·全国甲卷（理数）·第18题）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)求证：； (2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 3．（2023·全国乙卷（理数）·第19题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 4．（2023·天津·统考高考真题（第17题））三棱台中，若面，分别是中点.    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 5.（2023·新高考数学全国Ⅰ卷（第18题））如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 6．（2023·新高考数学全国Ⅱ卷（第20题））如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值．． 7．（2022·全国乙卷（理数）·第18题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 8．（2022·全国甲卷（理数）·第18题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 9．（2022·新高考数学全国Ⅰ卷（第19题））如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 10．（2022·新高考数学全国Ⅱ卷（第20题））如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值．   11．（2022·北京·统考高考真题第17题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 12．（2022·天津·统考高考真题第17题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 13．（2022·浙江·统考高考真题第19题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2021·全国乙卷（理数）·第18题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 15．（2021·全国甲卷（理数）·第19题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 16．（2023·新高考数学全国Ⅰ卷（第20题））如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 17．（2023·新高考数学全国Ⅱ卷（第19题））在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18．（2021·北京·统考高考真题第17题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 19．（2021·天津·统考高考真题第17题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 20．（2021·浙江·统考高考真题第19题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题05：空间向量与立体几何-近三年高考真题赏析 1．（2023·北京·统考高考真题（第17题））如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点． (1)求证：EF//平面PBC； (2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长． 条件①：；条件②：． 【解析】（1）如图所示， 取的中点M，连接，