重难点专题04：空间向量研究空间距离问题-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点专题04：空间向量研究空间距离问题 考点01：两点间的距离公式：若，， 则， 或 1．如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为________． 2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 考点02：点到直线距离 若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 3．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离. 考点03：点到平面的距离 若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即 5．如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________．    6．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. 求点到平面的距离. 考点04：直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 7．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 8．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 考点05：两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即 9.两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 10．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 考点06：异面直线间的距离 设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即 11．正方体中，边长为2，求异面直线与的距离． 12．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04：空间向量研究空间距离问题 考点01：两点间的距离公式：若，， 则， 或 1．如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为________． 【答案】 【分析】根据给定的几何图形，求出点M，N的坐标，再利用空间两点间的距离公式计算作答. 【详解】依题意，，所以M、N之间的距离. 故答案为： 2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故选：A. 考点02：点到直线距离 若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 3．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解. 【详解】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为. 故选：B 4．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离. 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离. 【详解】 设则， ∴ ∴点B到直线的距离 考点03：点到平面的距离 若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即 5．如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求