重难点专题03：空间角的向量求法-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点专题03：空间角的向量求法 考点01：直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 2．在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    求异面直线所成的角 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 考点02：异面直线夹角的向量求法 4．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，平行六面体的底面是菱形，且，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角． 考点03：已知线线角求其它量 6．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    ) A．​ B．2 C．​ D．​ 求直线和平面所成的角 求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角 的余角.即有： 考点04：线面角的向量求法 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，则OB1与平面PAC的夹角为 _____. 9．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点05：已知线面角求其它量 10．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上，，且，． (1)当时，证明：平面平面BDE； (2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时的值． 求二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角. ( O A B O A B l )如图： 求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 如果是锐角，则， 即； 如果是钝角，则， 即. 考点06：面面角的向量求法 12．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为______． 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 考点07：已知面面角求其它量 14．若二面角为，直线，则平面内的所有直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，，点F为PB中点，点E在边BC上移动． (1)求证： 平面AFC； (2)若二面角的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥的体积为． 考点08：共面直线夹角的向量求法 16．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________， ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03：空间角的向量求法 考点01：直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．