重难点专题02：用空间向量研究直线、平面的位置关系-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点专题02：用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点01：线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即. 1.（多选）已知，，若，则与的值可以是（       ）. A．2， B．， C．， D．，2 【详解】由，可设，即，得，解得，或2，故A，C都符合选项. 故选：AC 2．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【答案】证明见解析. 【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得. 【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 考点02：线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即. 3．（多选）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，结合各选项中的向量，计算判断即可． 【详解】若，则， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 若，则，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 平面的其中一个法向量为， 所以，即， 又因为平面， 所以平面. 考点03：面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证. 5.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则=_________． 【答案】2 【解析】 【分析】 由条件可得两个平面的法向量平行，然后可得答案. 【详解】 ，，解得． 故答案为：2 6．在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面. 【详解】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则有，，， ， ， ， 于是， ，，， 显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面， 同理平面， 平面，， 所以平面平面 考点04：线线垂直 7.设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：B. 8．如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由题意，利用向量法，根据空间向量的基本定理，结合数量积证明垂直，可得答案. 【详解】由题意，连接，如下图： ， 同理， 故 由，，，，则， 故. 考点05：线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即. ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 9．在正方体中，直线与平面交于点. (1)求证：直线平面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面. （2）计算出，由此求得. 【详解】（1）设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以， 由于平面， 所以平面. （2）连接，由于平面，平面， 所以. 根据正方体的性质可知， 在直角三角形中，， 所以， 所以， 所以，所以. 10．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且． (1)求平面BED的一个法向量； (2)证明：A1C⊥平面BED． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解； （2）只需证明与平面BED的法向量共线即可. 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，射线分别为轴的 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：； 依题知，，，， ，， 则有，，， 设平面BED的一个法向量为：， 则有，即， 令，解得：，， 故平面BED的一个法向量为：； （2）由（1）知， 平面BED的一个法向量为：， 又， 所以与平面BED的一个法向量共线， 即可证明：A1C⊥平面BED. 考点06：面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 11.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面. 【答案】证明见解析.