重难点专题01：建立空间直角坐标系常用建系的方法-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点专题01：建立空间直角坐标系常用建系的方法 立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算 1、 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 1.（2023·新高考数学全国Ⅰ卷（第18题））如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 2、 利用线面垂直关系构建直角坐标系 3．（2023·北京·统考高考真题（第17题））如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点． (1)求证：EF//平面PBC； (2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长． 条件①：；条件②：． 4．（2023·全国甲卷（理数）·第18题）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)求证：； (2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 3、 利用面面垂直关系构建直角坐标系 5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 6．（2022年全国卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 4、 利用图形中的对称关系建立坐标系 7．（2016·全国·高考真题）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 8．（2018年全国卷）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 五、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 9：（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ） 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10：如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且． （1）求直线MN与PC所成角的大小； （2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，总3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01：建立空间直角坐标系常用建系的方法 立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算 1、 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 1.（2023·新高考数学全国Ⅰ卷（第18题））如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为.