第一章 空间向量与立体几何（综合提升检测卷）-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何综合提升检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，（其中x、），如果，则（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， 故选：B 2．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为（    ） A．(0，1，－1) B．(－1，0，1) C．(1，1，1) D．(－1，0，0) 【答案】A 【分析】由坐标得平面ABC上两个不共线的向量，设法向量坐标，列方程解出坐标. 【详解】由题，， 设平面ABC的一个法向量为， 可得，即，所以. 选项A中向量合题意. 故选：A. 3．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 .    故选：B 4．已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（    ） A．直线与直线共面 B．不垂直于 C．直线与直线的所成角为60° D．三棱锥的体积为 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，A选项，假设直线与直线共面，由面面平行的性质得到，由推出矛盾，A错误；B选项，计算出得到两直线垂直；C选项，利用空间向量夹角余弦公式计算；D选项，利用等体积法求解三棱锥的体积. 【详解】如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，，    对于A，假设直线与直线共面， ∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，矛盾， ∴直线与直线不共面，A错误； 对于B，∵，， ∴， ∴， ∴，B错误， 对于C，设直线与直线所成的角为， ∵，， ∴， ∴， ∴C错误， 对于D，∵平面， ∴，D正确． 故选：D． 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C 6．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为， 则、、、、， ， ，所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A. 7．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到平面的距离. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系    ，，，，，， 设平面的法向量为，，令，得 则点到平面的距离为. 故选：A 8．点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 又点在线段上（不含端点），所以，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可. 【详解】A：，因此本选项正确； B：，因此本选项正确； C：，因此本选项不正确； D：，因此本选项不正确， 故选：AB 10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量的长度为 【答案】BD 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决. 【详解】对于A，由题得，而，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，故C不正确； 对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确； 故选：BD. 11．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．