1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系 考点01：直线的方向向量 1．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 考点02：平面的法向量 3．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 考点03：空间向量法做直线与直线平行 5．已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且． 6．如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：. 考点04：空间向量法做直线与平面平行 7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，已知斜三棱柱，在和上分别取点，，使，，其中，求证：平面. 考点05：空间向量法做平面与平面平行 9．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 考点06：空间向量法做直线与直线垂直 11．已知空间四边形中，，求证：. 12．如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 考点07：空间向量法做直线与平面垂直 13．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 14．如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点． 求证：（1）；（2）平面． 考点08：空间向量法做平面与平面垂直 15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 16．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系 考点01：直线的方向向量 1．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量的概念求解， 【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，， 所以即为直线PC的一个方向向量. 考点02：平面的法向量 3．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入法向量的计算公式，即可求解. 【详解】，，令法向量为，则， ，可取. 故选：A. 4．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量. 【答案】(1)    (答案不唯一) (2) (答案不唯一) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量； （2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量. 【详解】（1） 由题意，可得, 连接AC，因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面，所以， 且，则AC⊥平面， ∴为平面的一个法向量. (答案不唯一). （2） 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一). 考点03：空间向量法做直线与直线平行 5．已知正方体中，M与N分别是棱与对角线的中点．求证：，并且． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标关系来证明. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为，则,,,; 因为，且， 所以，并且． 6．如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】连接，由中位线定理即可证明. 【详解】连接,如图， 由正方体知四边形是正方形，且M是的中点， 所以， 即是的中点， 又N是AC的中点， 所以. 考点04：空间向量法做直线与平面平行 7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（    ） A．， B．，