1.3空间向量及其坐标表示-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其坐标表示典型例题 考点01：空间向量的坐标表示 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2．如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题. 【详解】过点作交于点，如图所示： 因为，， 所以在中有： 得、， 在中， 有， 所以， 所以点的坐标为， 又为原点，所以， 故选：B. 考点02：空间向量求点的坐标 3．已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段上靠近的三等分点为，根据题意可得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设线段上靠近的三等分点为， 根据题意可得出，即， 所以，，解得，即点. 故选：B. 4．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题设条件可以建立以点A为原点，以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，从而求解各顶点坐标； （2）点D的坐标为，由求解. (1) 因为平面ABC， 所以，， 又因为， 所以建立以点A为原点，以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示 ： 因为，，， 所以、、、； (2) 若D点在线段PC上靠近P点的三等分点， 所以， 设点D的坐标为，则 所以. 考点03：空间向量坐标的运算 5．若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 【答案】C 【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可 【详解】由已知，， ， ∴. 故选：C． 6．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量坐标运算即可. 【详解】. 故选：B. 7．已知，，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 8．若向量，满足条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ， 所以 ， 所以， 故选：B 9．设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】确定，解得答案. 【详解】线性相关， ， 则，不同时为0，解得. 故选：D 10．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解； 对于B：结合向量的四则运算即可求解； 对于C：利用投影的几何意义即可求解； 对于D：根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A：，， 即：， 解得：. 故A选项正确； 对于B：， ，解得：. 故B选项正确； 对于C：在上的投影向量为：， 即，代入坐标化简可得：，无解， 故C选项错误； 对于D：与夹角为锐角， ，解得：， 且与不共线，即，解得：， 所以与夹角为锐角时，解得：. 故D选项正确； 故选：ABD. 考点04：空间向量模长的坐标表示 11．已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则， 即的最小值是， 故选：D 12．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点共线，求出C点坐标，即可求. 【详解】，，， 若三点共线，则有，得，解得， ，. 故选：B 13．已知向量，若与垂直，则___________. 【答案】 【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出. 【详解】∵与垂直，∴，则，解得， ∴， 则， ∴， 故答案为：. 考点05：空间向量平行的坐标表示 14．已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，即，即，解得. 故答案为： 15．已知向量，，且，则实数k的值为（    ） A． B．