1.2空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2空间向量基本定理典型例题 考点1：空间向量基底的概念及辨析 1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B．，， C．，， D． 【答案】C 【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误； 对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误； 对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确； 对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误； 故选：C 2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】因为， ， ， 所以向量，，均与向量，共面． 故选：C 3．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 4．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【分析】根据向量共面的定义可判断A，利用向量夹角的取值范围判断B，根据基底的定义可判断C，根据共面定理可判断D. 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确； 对于B，若，则是钝角或是，B错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面， 假设共面，则， 即矛盾，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，C正确； 对于D，因为且， 所以P，A，B，C四点共面，D正确； 故选:ACD. 考点2：用空间向量基底表示向量 5．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 6．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答. 【详解】在平行六面体中，M为与的交点， . 故选：B 7．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则______.    【答案】 【分析】由空间向量的线性运算即可求解. 【详解】， 故答案为： 8．如图，在四面体中，，，，，．    (1)求证：、、、四点共面． (2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）由（1）可得出，可得出，则，由此可得出，再结合空间向量的线性运算可得出关于、、、的表达式. 【详解】（1）证明：因为， ， 所以，则，因此、、、四点共面． （2）解：当时，，即，可得， 因为，即，可得， 由（1）知，，，因此， 又因为、不在同一条直线上，所以，， 则，则，即， 所以， . 考点3：用空间向量基本定理及其应用 9．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以， 故. 故选：B. 10．（多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【答案】ABD 【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 11．如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. （1） （2） 由题意知，，，， 则， ， 所以 12．如图所示，在平行六面体中，为的中点.设. (1)用表示； (2)设是棱上的点，且，用表示. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为的中点，结合平行