4.2.2等差数列的前n项和公式的性质课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学组 2022-12-18 4.2.2 等差数列的前n项和公式的性质 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标: 1、掌握等差数列前n项和的性质 2、会求等差数列前项和的最值 教学重难点: 重点:求等差数列前n项和的最值 难点:等差数列前n项和的性质及应用 博学 笃志 雅行 厚德 1.等差数列前n项和的公式; (两个) 3.在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 2.等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法; 复习回顾 博学 笃志 雅行 厚德 探究一:如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p, q, r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?若是,则它的首项与公差分别是什么? 证:当n≥2时, 当n=1时,a1=S1=p+q+r 当且仅当r =0时,a1满足an=2pn-p+q,此时该数列是等差数列. an =Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q 当r ≠0时,a1不满足an=2pn-p+q,此时数列不是等差数列. 故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a1=p+q, 公差d=2p(p≠0). 性质1:数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn (A,B为常数) 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 (1)当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值; (2)当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值; 注意:当数列的项中有数值为0时,n应有两解. 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法 1.前n项和公式法 2.通项公式法 利用Sn=An2+Bn进行配方,求二次函数的最值, 此时n应取最接近 的正整数值; 利用等差数列的增减性及an的符号变化 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10=310,S20=1220,求S30. 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 2.已知数列{an}的n项和为 ,求数列{an}的通项公式. 解:当n ≥2时, 当n =1时, ,不满足上式 故数列{an}的通项公式为 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 证明: 探究二: 性质2 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10=310,S20=1220,求S30. 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 证明: 探究三: 性质3 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10=310,S20=1220,求S30. 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 2. 在等差数列{an}中,已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910,求第21项到第30项的和. 解:∵数列S10, S20-S10, S30-S20构成等差数列. ∴ 2×910 = 310+ (S30-S20) ∴ S30-S20 = 1510 故第21项到第30项的和为1510. 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 证明: 当m=n时,公式变化? 探究四: 性质4 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 2.设等差数列的前n项和为. 若 ,则 _; 3.设等差数列的前n项和为. 若 ,则 _; 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 证明: 探究五: 性质5 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 1.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与 奇数项和之比为32∶27,则公差d =_. 解:由条件 ,解得 s奇+s偶=354 s偶 s奇 = 32 27 s偶 =192 s奇=162 ∴ 由s偶-s奇=6d 得 d=5 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 证明: 探究六: 性质6 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 性质3: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列Sm, S2m-Sm, S3m-S2m构成等差数列,且公差为m2d. 性质1:数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数) 性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也是等差数列, 且公差为 . 等差数列的前n项和公式的性质 性质4: 当m=n时, 课堂小结 博学 笃志 雅行 厚德 课本24页练习2、3、4题 课后作业 博学 笃志 雅行 厚德 THANKS 感谢各位的观看 博学 笃志 雅行 厚德 解:设Sn=An2+Bn(A,B为常数). 由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(310=100A+10B,,1 220=400A+20B