5.3.2 函数的极值与最大（小）值课件（2）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学组 2022-12-18 5.3.2 函数的极值与最大（小）值(2) 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标： 1、掌握函数极值与最大（小）值的求法 2、掌握函数的极值与最值之间的关系 教学重难点： 重点：利用导数研究函数的极值与最大（小）值 难点：用导数求函数的极值与最大（小）值 博学 笃志 雅行 厚德 如果在 x0 附近的左侧f '(x)>0, 右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0)为极大值； 解方程 f '(x) = 0. 当 f '(x0) = 0 时： 如果在 x0 附近的左侧f '(x)<0, 右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0)为极小值. 1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法： 2.函数最大值和最小值的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 . 复习回顾 博学 笃志 雅行 厚德 问题1：找出函数y=f(x)的在区间[a,b]内极大值、极小值： 追问1：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢? 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 最大值：f(a) 最小值：f(x3) x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 问题2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b y=f(x) x y O a b x2 x1 x3 x4 x5 y=g(x) 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 追问1：函数最值与极值有什么关系？ 求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得). O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 例1 求 在[0,3]的最大值与最小值. 又因为f(0)=4,f(3)=1 x (0, 2) 2 ( 2, 3) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以,当x=0，时函数f(x)在[0,3]上取得最大值4， 当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 . 典例分析 解：因为 令f’(x)=0,解得x=2,或x=-2 博学 笃志 雅行 厚德 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； 方法归纳 博学 笃志 雅行 厚德 博学 笃志 雅行 厚德 1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： x 2 ( 2, 3) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 又因为 所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20， 当x= 时，函数f(x)在