第03讲 空间向量基本定理-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量基本定理 ·模块二 空间向量的正交分解 ·模块三 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 ·模块四 课后作业 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等 向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，， ，不能含有其他形式的向量． 【考点1 空间向量基底的判断】 【例1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023秋·广东江门·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1.2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【考点2 用空间基底表示向量】 【例2.1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【考点3 由空间向量基本定理求参数】 【例3.1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（    ） A．1 B．3 C． D． 【例3.2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3.1】（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3.2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【考点1 正交分解】 【例1.1】（2023春·高二课时练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2022·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝ ，z＝ ． 模块三 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充