第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合-【暑假预科讲义】2023年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版2019】 ·模块一 函数的奇偶性 ·模块二 函数的图象 ·模块三 课后作业 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 【考点1 函数奇偶性的判断】 【例1.1】（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 【考点2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2.1】（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023春·云南昆明·高一校考期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 由函数奇偶性求参数】 【例3.1】（2022秋·高一单元测试）已知函数是上奇函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3.2】（2022秋·广东湛江·高一校考期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3.1】（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C．或3 D．或 【变式3.2】（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【考点1 函数图象的识别、判断】 【例1.1】（2023春·江苏泰州·高一校考阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·校联考三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B．