专题1.1 集合的概念与表示（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念与表示 课程标准 学习目标 A．理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． B．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． C．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．感受集合语言的意义和作用． 1、数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用； 3、数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算； 4、直观想象：集合的图形表示； 5、数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类． 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【即学即练1】下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【即学即练2】下列说法正确的是________________ ①与集合相等 ②方程的所有实数根组成的集合可记为 ③全体偶数组成的集合为 ④集合表示一条过原点的直线 知识点三：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 【即学即练3】已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 题型一：集合的含义 例1．（2023·全国·高一假期作业）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于x的正整数 例2．（2023·全国·高一假期作业）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 例3．（2023·全国·高一假期作业）下列各选