5.2.3简单复合函数的导数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

TIAN JIA NING DEBIAO TI 5.2.3 简单复合函数的导数 高二数学组 2023-3-7 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标： 1.了解和认识复合函数的概念及求导法则； 2.掌握简单复合函数求导法则并能进行求导运算. 教学重难点： 重点：复合函数的求导法则. 难点：复合函数概念的理解，求复合函数的导数. 素养目标： 1、数学抽象：复合函数 2、逻辑推理: 复合函数的求导法则 3、数学运算：复合函数的求导 博学 笃志 雅行 厚德 复习引入 导数的四则运算法则 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 探究1 如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 现有方法无法求出它的导数： （1）用定义不能求出极限； （2）不是基本初等函数，没有求导公式； （3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 追问1 函数 y＝ln(2x-1) 可以用基本初等函数表示吗？ 它的结构特点是什么？ 若设 u=2x-1 , 则 y=lnu. 如果把 y 与 u 的关系记作 y=f(u) 和，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x-1). 从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 及u＝2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 博学 笃志 雅行 厚德 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)). 概念形成 博学 笃志 雅行 厚德 以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 小试牛刀 博学 笃志 雅行 厚德 探究2 如何求复合函数的导数？ 以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. (1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数 可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 y′u=cosu, u′x =2 (2)可以换个角度来求 y′x ： y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y′x＝y'u· u′x [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 结构特点 结果显示 概念形成 博学 笃志 雅行 厚德 思考：现在可以用复合函数的求导法则来求函数 y＝ln(2x-1) 的导数了吗？ 函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成 以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导 因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2, 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 = 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 例1 求以下函数的导数 （1）y＝(3x+5)3; （2） 解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(u3)'· (3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2. 典例分析 解： （2）y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(eu)'· (－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1. 博学 笃志 雅行