重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题 目录 1、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。 2、对称变换 主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令. (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 3、应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 题型一：极值点偏移:加法型 例1．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若，，是方程的两个实数根，证明：． 例2．（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点、，证明. 例3．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点； ②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：. 变式1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点． (1)求实数的值； (2)若存在，使得，求证：． 变式2．（2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数，a为实数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明： 变式3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值； (2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值． 变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 变式5．（2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 变式6．（2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数． (1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围； (2)令，设函数，且，求证：． 变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 变式8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，证明：. 变式9．（2023·全国·高三专题练习）设函数. (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数. 变式10．（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，是的两个不同零点，证明：. 变式11．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，且，使得，求证：. 题型二：极值点偏移:减法型 例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间