第12讲 双曲线的标准方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第12讲 双曲线的标准方程 1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．　 3．会求直线与双曲线的公共点坐标．　 4．掌握双曲线标准方程在实际生活中的应用． 知识点一 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 知识点二 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 考点一：由标准方程研究几何性质 例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 【总结】 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用． 变式 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离． 考点二：求双曲线的标准方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 【总结】 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式； (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程； (2)待定系数法： 变式 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 考点三：双曲线标准方程的应用 例3 若方程＋＝3表示双曲线，求实数m的取值范围． 【总结】 双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． 变式 已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A． B．5 C．7 D． 1．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2) 2．若ax2＋by2＝b(ab＜0)，则这个曲线是(　　) A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上 3．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 4．(多选)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．6 5．以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程． 1．下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是(　　) A．－＝2 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．“ab＜0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．若椭圆＋＝1(m＞0)与双曲线－＝1(m＞0)有相同的焦点，则m＝(　　) A． B．1或2 C．1或 D．1 4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　) A．－y2＝1 B．y2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 5．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，|PF1|＋|PF2|＝6，O为坐标原点，M是PF1的中点，则|OM|＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 6．(多选)过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程可以是(　　) A．－y2＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．y2－＝1 7．(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是(　　) A．若1＜t＜3，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3 C．若曲线C为双曲线，则t＞3或t＜1 D