第11讲 椭圆的几何性质-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第11讲 椭圆的几何性质 1．掌握和巩固椭圆的简单几何性质．　 2．通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想．　 3．会判断直线与椭圆的公共点个数． 知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 性质 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0,0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 考点一：由标准方程研究几何性质 例1 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【总结】 由椭圆方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 【注意】长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 变式 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 考点二：利用几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 【总结】 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 变式 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程． 考点三：求椭圆的离心率 例3 (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________； (2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 【总结】 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解； (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 变式 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 1．椭圆＋＝1的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．3 D．6 2．如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 4．(多选)以下说法正确的是(　　) A．椭圆＋＝1的长轴长为4，短轴长为2 B．离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁 C．椭圆＋＝1的焦点在x轴上且焦距为2 D．椭圆＋＝1的离心率为 5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6． (1)求这个椭圆的离心率； (2)求这个椭圆的标准方程． 1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于(　　) A． B． C． D． 4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过点F1作x轴的垂线与椭圆相