微练68 不等式的证明-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六十八)　不等式的证明 基础过关 1.已知函数f(x)=|x|+|x-3|。 (1)求不等式f(x)-5≥x的解集; (2)设m,n∈{y|y=f(x)},证明:2(m+n)<mn+4。 解　(1)由题意知f(x)=|x|+|x-3|=所以f(x)-5≥x等价于或或解得x≤-或x≥8。所以不等式的解集为∪。 (2)证明:由(1)易知f(x)≥3,所以m≥3,n≥3。因为2(m+n)-(mn+4)=2m-mn+2n-4=(m-2)(2-n),且m≥3,n≥3,所以m-2>0,2-n<0,即(m-2)(2-n)<0,所以2(m+n)<mn+4。 2.已知a>0,b>0,a2+b2=2。证明: (1)(a+b)(a3+b3)≥4; (2)a2b+b2a≤2。 证明　(1)因为a>0,b>0,a2+b2=2,所以(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2+b4=a4+2a2b2+b4= (a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号。 (2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0(当且仅当a=b=1时取等号),所以0<ab≤1　①。因为(a+b)2≤2(a2+b2)=4(当且仅当a=b=1时取等号),且a>0,b>0,所以a+b≤2　②。当a>0,b>0,①×②可得a2b+b2a≤2。 3.(2023·四川简阳模拟)已知a,b,c为正实数,且abc=1。 (1)求证:a2+b2+c2≥++; (2)若a=b+c,求a的最小值。 解　(1)证明:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,因为abc=1,所以ab+bc+ca==++,所以a2+b2+c2≥++。 (2)因为a,b,c为正实数,所以b+c≥2,当且仅当b=c时“=”成立,又a=b+c,=bc,所以a≥,解得a≥=,所以a的最小值为。 4.已知a,b,c为正数,且a+b+c=2,求证: (1)ab+bc+ac≤; (2)··≥8。 证明　(1)将a+b+c=2两边平方得a2+b2+c2+2ab+2cb+2ac=4,因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,则4=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac,所以ab+bc+ac≤,当且仅当a=b=c=时等号成立。 (2)=≥,=≥,=≥,则··≥··=8,即··≥8,当且仅当a=b=c=时等号成立。 5.设函数f(x)=3|x+1|+|2x-1|的最小值为m。 (1)求m的值; (2)若a,b∈(0,+∞),证明:·+1+≥m2。 解　(1)当x<-1时,f(x)=-3x-3-2x+1=-5x-2>3;当-1≤x≤时,f(x)=3x+3-2x+1=x+4∈;当x>时,f(x)=3x+3+2x-1=5x+2>。综上,当x=-1时,f(x)min=3,所以m=3。 (2)证明:由(1)知,即证+1+≥9。因为a,b∈(0,+∞),所以+1+≥3,+1+≥3。所以+1++1+≥3·3=9。当且仅当即a=b=1时,等号成立。 素养升级 6.(2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: (1)a+b+2c≤3; (2)若b=2c,则+≥3。 证明　(1)证法一(平方转化基本不等式证明):因为a2+b2+4c2=3,所以(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)≤3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2],当且仅当a=b=2c=1时取等号,所以(a+b+2c)2≤3+2[a2+b2+(2c)2]=9。又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3。 证法二(柯西不等式证明):因为a2+b2+4c2=3,所以根据柯西不等式有3×3=(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2,当且仅当a=b=2c=1时取等号。又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3。 (2)3+=3+=3++,由b=2c,a+b+2c≤3得3+=3++≥(a+b+2c)++≥·+·+·2=9,当且仅当a=2c时等号成立,所以+≥3。 学科网（北京）股份有限公司 $