微练67 绝对值不等式-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六十七)　绝对值不等式 基础过关 1.已知f(x)=(x-1)|x-a|-2|x-2|,a∈R。 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)求f(2)+f(3)的取值范围。 解　(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|-2|x-2|=(x-3)|x-2|=不等式f(x)≥0等价于或解得x=2或x≥3。所以不等式f(x)≥0的解集为{x|x=2或x≥3}。 (2)因为f(2)+f(3)=|2-a|+2|3-a|-2=|a-2|+2|a-3|-2=设函数h(a)=f(2)+f(3),则h(a)在(-∞,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以当a=3时,h(a)=f(2)+f(3)取得最小值,最小值为-1,所以f(2)+f(3)的取值范围是[-1,+∞)。 2.设函数f(x)=|2x-1|-|x+3|。 (1)解不等式f(x)>0; (2)若f(x)+3|x+3|≥a对一切实数x均成立,求实数a的取值范围。 解　(1)当x≥时,可得2x-1-(x+3)=x-4>0,解得x>4,所以x>4;当-3≤x<时,可得-2x+1-(x+3)=-3x-2>0,解得x<-,所以-3≤x<-;当x<-3时,可得-2x+1+(x+3)=-x+4>0,解得x<4,所以x<-3。综上,原不等式的解集为。 (2)f(x)+3|x+3|=|2x-1|+2|x+3|≥|2x-1-(2x+6)|=7,当且仅当-3≤x≤时等号成立,所以a≤7。故实数a的取值范围为(-∞,7]。 3.已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|。 (1)解不等式f(x)<2; (2)若不等式|m-1|≥f(x)+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m的取值范围。 解　(1)f(x)=当x≤-时,由-x-2<2,得x>-4,所以-4<x≤-;当-<x<1时,由3x<2,得x<,所以-<x<;当x≥1时,由x+2<2,得x<0,此时无解。综上,不等式f(x)<2的解集为x-4<x<。 (2)|m-1|≥f(x)+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|=易知,|m-1|≥f(x)+|x-1|+|2x-3|有解时,只需|m-1|≥4,解得m≤-3或m≥5,故实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞)。 4.已知函数f(x)=|2x|+|x-1|,x∈R。 (1)求f(x)≥2的解集; (2)若f(x)=kx有2个不同的实数根,求实数k的取值范围。 解　(1)由题意得f(x)=故f(x)≥2可化为或或解得x≥1或x≤-,所以f(x)≥2的解集是xx≥1或x≤-。 (2)f(x)=kx有2个不同的实数根等价于y=f(x)的图象与直线y=kx有两个不同的交点,作出y=f(x)图象,如图所示,设OB∥AC,由图易知kOA==2,kOB=kAC=3,所以kOA<k<kOB,即2<k<3。 5.已知函数f(x)=|2x-m|(m∈R)。 (1)当m>0时,解不等式f(x)>|x+1|; (2)若对任意的x∈[-1,2],不等式f(x)≥x-1恒成立,求实数m的取值范围。 解　(1)不等式f(x)>|x+1|等价于|2x-m|2>|x+1|2,所以3x2-(4m+2)x+m2-1>0,即[x-(m+1)][3x-(m-1)]>0,又m>0,所以m+1>,所以不等式f(x)>|x+1|的解集为xx>m+1或x<。 (2)依题意|2x-m|≥x-1在[-1,2]上恒成立,即当x∈[-1,2]时,y=|2x-m|的图象恒在直线y=x-1的上方或有公共点。作出y=|2x-m|的图象与y=x-1的图象,如图。直线y=x-1过点(2,1),则只需≤1或y=m-2x在x=2时的函数值大于等于1,即m≤2或m≥5。所以实数m的取值范围为{m|m≤2或m≥5}。 素养升级 6.(2023·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x+2|-|x-1|。 (1)求证:∀x∈(-∞,+∞),f(x)-g(x)≥0; (2)已知a为常数,f(x)≤a≤g(x)有实数解,若m>0,n≥0,且2m+n=a,求+的最小值。 解　(1)证明:因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,且f(2)=3,所以f(x)的最小值为3。因为g(x)=|x+2|-|x-1|≤|(x+2)-(x-1)|=3,且g(2)=3,所以g(x)的最大值为3。所以∀x∈(-∞,+∞),f(x)≥g(x),即f(x)-g(x)≥0。 (2)由(1)知,∀x∈(-∞,+∞),f(x)的最小值为3,g(x)的最大值为3。根据已知设x0是f(x)≤a≤g(x)的一个解,则3≤f(x0)≤a≤g(x0)≤3。所以a=3,2m+n=3。因为m>0,n≥0,所以