微练66 参数方程-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六十六)　参数方程 基础过关 1.在平面直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=3。 (1)求曲线E的直角坐标方程和曲线M的普通方程; (2)在直角坐标系中,求曲线E与M的交点坐标。 解　(1)将ρcos θ=x和ρsin θ=y代入极坐标方程4ρcos θ+ρsin θ=3中,得曲线E的直角坐标方程为4x+y-3=0。将曲线M的参数方程化为(φ为参数),两式平方相加得x2+=1,故曲线M的普通方程为x2+=1。 (2)由解得或可得曲线E与M的两个交点坐标分别为(0,3)和。 2.(2023·西安八校高三联考)已知曲线S的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π)。点P-,-在曲线S上,直线l过点P,且倾斜角为。 (1)求点P在曲线S上对应的参数θ的值; (2)求直线l被曲线S截得的线段的长度。 解　(1)曲线S的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π),因为点P在曲线S上,所以又0≤θ<2π,所以θ=。 (2)因为曲线S的参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π),所以与其参数方程等价的普通方程为(x-1)2+y2=9。因为直线l过点P,且倾斜角为,所以直线l的普通方程为x-y-=0,由于曲线S的圆心(1,0)在直线l上,故直线l被曲线S截得的线段的长度为6。 3.过点P(-1,0)作倾斜角为α的直线l,且l与曲线C:(θ为参数)相交于M,N两点。 (1)写出曲线C的普通方程与直线l的参数方程; (2)求|PM|·|PN|的最小值。 解　(1)由(θ为参数),消去参数θ得曲线C的普通方程为+=1。过点P(-1,0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)。 (2)把代入方程+=1中,得(3-cos2α)t2-4tcos α-4=0,设t1和t2分别为点M,N对应的参数,所以|PM|·|PN|=|t1t2|=,所以当cos α=0时,|PM|·|PN|取得最小值,最小值为。 4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin-=0。 (1)求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)已知曲线C1和直线l相交于A,B两点,求三角形ABO的面积。 解　(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),所以与其参数方程等价的普通方程为x2+(y-1)2=1。直线l的极坐标方程为ρsin-=0,展开得2ρsin θcos-cos θsin-1=0,由得y-x-1=0,所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0。 (2)由于直线l:x-y+1=0经过圆C1:x2+(y-1)2=1的圆心,所以|AB|=2。又O(0,0)到直线l:x-y+1=0的距离为=,所以三角形ABO的面积为×2×=。 5.(2023·宁夏银川模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos=0。 (1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)已知点P(3,),曲线C1和C2相交于A,B两个不同的点,求||PA|-|PB||的值。 解　(1)将的参数t消去得曲线C1的普通方程为x2-=1。因为cos=0,所以ρcos θ-ρsin θ=0,由可得曲线C2的直角坐标方程为x-y=0。 (2)由题意得点P(3,)在曲线C2上,曲线C2的参数方程可表示为(t'为参数),将上述参数方程代入x2-=1得11t'2+44t'+4×29=0　①,Δ>0,设t'1,t'2为方程①的两根,则t'1+t'2=-4,t'1t'2=,所以(|PA|-|PB|)2=(|PA|+|PB|)2-4|PA||PB|=(t'1+t'2)2-4t'1t'2=,所以||PA|-|PB||=。 素养升级 6.如图,某“京剧脸谱”的轮廓曲线C由曲线C1和C2围成。在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为(t为参数,且0≤t≤π)。以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,C2的极坐标方程为ρ2=(π≤θ≤2π)。 (1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)已知A,P∈C1,B∈C2,OA⊥OB,当Rt△OAB的面积最大时,求点P到直线AB距离的最大值。 解　(1)因为曲线C1的参数方程为(t为参数,且0≤t≤π),所以C1的普通方程为x2+y2=9(0≤y≤3)。曲线C2的极坐标方程为ρ2=(π≤θ≤2π),即9ρ2+7ρ2cos2θ=144(π≤θ≤2π),因为ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,所以C2的直角坐标方程为+=1(-4≤y≤0)。 (2)由A∈C1,B∈C2及OA⊥OB