微练65 坐标系-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六十五)　坐标系 基础过关 1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(θ为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线C2:ρcos=-,曲线C3:ρ=2sin θ。 (1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标; (2)设点A,B分别为曲线C2,C3上的动点,求|AB|的最小值。 解　(1)曲线C1的普通方程为y=1-x2(-1≤x≤1)。由得曲线C2的直角坐标方程为x+y+1=0。由得所以交点M的直角坐标为(-1,0)。 (2)由x2+y2=ρ2,得曲线C3的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,是一个圆。|AB|的最小值为圆心(0,1)到曲线C2:x+y+1=0(直线)的距离再减去半径1。故|AB|的最小值为-1。 2.在极坐标系中,已知两点A,B,,直线l的方程为ρsin=3。 (1)求A,B两点间的距离; (2)求点B到直线l的距离。 解　(1)设极点为O,在△OAB中,A,B,,由余弦定理,得|AB|= =。 (2)因为直线l的方程为ρsin=3,所以直线l过点,倾斜角为。又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2。 3.以平面直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为ρ=。 (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程。 解　(1)由ρ=,得ρ-ρsin θ=2,可得ρ2=(2+psin θ)2。将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式得曲线的直角坐标方程为x2=4y+4。 (2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意得=3·,解得θ0=或θ0=,所以直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R)。 4.在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P。 (1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程。 解　(1)因为点M(ρ0,θ0)在曲线C上,所以当θ0=时,ρ0=4sin=2。由已知得|OP|=|OA|cos=2,设Q(ρ,θ)为l上除点P外的任意一点。在Rt△OPQ中,ρcosθ-=|OP|=2。经检验,点P2,在曲线ρcosθ-=2上,所以l的极坐标方程为ρcosθ-=2。 (2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ。因为P在线段OM上,且AP⊥OM,所以θ的取值范围是,。所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈,。 5.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的参数方程为(α为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ-2sin θ。 (1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|。 解　(1)曲线C1:(α为参数)的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,由x=ρcos θ,x2+y2=ρ2,可得ρ2-4ρcos θ=0,即ρ=4cos θ,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ。曲线C2:ρ=2cos θ-2sin θ,即ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ,由x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2x-2y,即(x-)2+(y+1)2=4。 (2)直线l的普通方程为y=-x,所以直线l的极坐标方程为θ=-(ρ∈R)。与曲线C1的极坐标方程联立,得A,与曲线C2的极坐标方程联立,得B,所以|AB|=|ρA-ρB|=4-2。 素养升级 6.(2023·四川成都诊断考试)如图,曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线,它的极坐标方程为ρ=1-sin θ(θ∈[0,2π))。曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆,其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上,直径为1。 (1)求曲线C2的极坐标方程,并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标; (2)以极点为坐标原点,极轴所在的直线为x轴,经过极点且垂直于极轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,曲线C3的参数方程为(t为参数)。若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M,N两点,求线段MN的长度。 解　(1)由题意可得,曲线C2的极坐标方程为ρ=sin θ(θ∈[0,π])。代入曲线C1的极坐标方程得sin θ=1-sin θ,即sin θ=,解得θ=或θ=。所以曲线C1与曲线C2交点的极坐标为,。 (2)因为曲线C3是过原点且倾斜角为的直线,所以其极坐标