微练31 平面向量的综合应用-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(三十一)　平面向量的综合应用 基础过关 一、选择题 1.已知向量a=,b=cos ,sin ,则|a-b|= (C) A.1 B. C. D. 解析　因为a-b=cos -cos ,sin -sin =(,0),所以|a-b|=。故选C。 2.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为 (B) A. B. C. D. 解析　由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),则b2+a2-c2=ab。由余弦定理,得cos C==,又C∈(0,π),所以C=。 3.(2023·潍坊市月考)已知单位向量a,b满足|2a+b|=|a-2b|,若向量c=a-b,则向量b与c的夹角为 (C) A. B. C. D. 解析　由题意知|a|=1,|b|=1,由|2a+b|=|a-2b|得4a2+4a·b+b2=a2-4a·b+4b2,则a·b=0,故|c|===2,因此cos<b,c>===-,所以向量b与c的夹角为。 4.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且||=,则·= (A) A.- B. C.0 D. 解析　由于弦长|AB|=与半径相等,则∠ACB=60°,·=-·=-||·||·cos∠ACB=-××cos 60°=-。 5.已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=4,若=+λ,且⊥,则实数λ的值为 (C) A. B.- C. D.- 解析　因为·=2×4×cos 120°=-4,所以·=(+λ)·(-)=-4+16λ-4+4λ=0,解得λ=。故选C。 6.已知△ABC中,AB=AC=3,且|+|=|-|,点D,E是BC边上的两个三等分点,则·= (B) A.3 B.4 C.5 D.6 解析　因为|+|=|-|,所以·=0,不妨设点D是BC边上靠近点B的三等分点,所以=+=+=+(-)=+。同理可得=+,所以·=+·+=(+)=×(9+9)=4。故选B。 7.在△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是 (A) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析　由=·+·+·,得·-+·+·=·(-)+·(+)=·+·=·=0,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形。故选A。 8.(2023·南京联考)在平面直角坐标系xOy中,若A(1,0),B(3,4),=x+y,x+y=6,则||的最小值为 (D) A.1 B.2 C. D.2 解析　由题意得=(1,0),=(3,4),由=x+y,得=(x+3y,4y),所以=-=(x+3y-1,4y),又x+y=6,所以=(5+2y,4y),则||===2,y∈R,所以当y=-时,||取得最小值2。故选D。 二、填空题 9.(2023·石家庄质检)向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则a·b= -5 。  解析　(坐标法):根据a,b在正方形网格中的位置关系,如图,在平面直角坐标系中,a=(-1,2),b=(-1,-3),所以a·b=1-6=-5。 10.一物体在力F的作用下,由点A(20,15)移动到点B(7,0)。已知F=(4,-5),则F对该物体做的功为 23 。  解析　因为A(20,15),B(7,0),所以=(-13,-15),所以W=·F=-13×4+(-15)×(-5)=23。 11.已知点P在正三角形ABC所确定的平面上,且满足++=,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 1∶3 。  解析　因为++==-,所以=-2,所以点P在边AC上,且AP=AC,所以点P到AB的距离等于点C到AB的距离的,故△ABP的面积与△ABC的面积之比为1∶3。 12.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,·=,=λ(λ∈(0,1)),且·=-3,则λ的值为  。  解析　依题意,·=(+)·(-)=+·(λ-)=λ+λ-1·-=-3,即9λ+λ-1-8=-3,解得λ=。 三、解答题 13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈。 (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值。 解　(1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0,即sin x=cos x,所以tan x==1。 (2)由题意知,|m|==1,|n|==1,m·n=sin x-cos x=sin。而m·n=|m||n|cos<m,n>=cos =,所以sin=。又因为x∈,x-∈,所以x-=,所以x=。 素养升级 14.(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°。P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是