微练30 平面向量的数量积-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(三十)　平面向量的数量积 基础过关 一、选择题 1.已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,推不出a=b;若a=b,则a·c=b·c必成立,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件。故选B。 2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是 (A) A.-4 B.4 C.-2 D.2 解析　因为a·b=|a||b|cos<a,b>=18·cos<a,b>=-12,所以cos<a,b>=-。所以a在b方向上的投影是|a|cos<a,b>=-4。 3.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|= (A) A. B. C.2 D. 解析　由向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b得a·b=0,解得x=2,所以|a+b|=|(3,-1)|=。 4.非零向量a,b满足|a-b|=|a|,a·(a-b)=0,则a-b与b夹角θ的大小为 (A) A.135° B.120° C.60° D.45° 解析　因为非零向量a,b满足a·(a-b)=0,所以a2=a·b,由|a-b|=|a|可得,a2-2a·b+b2=a2,解得|b|=|a|,所以cos θ====-,所以θ=135°。故选A。 5.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= (A) A.5 B.3 C.4 D.3 解析　向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=,所以4a2-4a·b+b2=19,即|b|2-2|b|-15=0,解得|b|=5或|b|=-3(舍去)。故选A。 6.(2023·湖北八市联考)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为 (C) A. B. C. D. 解析　因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=0,即|a|2+|a||b|cos<a,b>=0,因为|a|=1,|b|=2,所以cos<a,b>=-,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=。故选C。 7.在Rt△ABC中,两直角边AB=6,AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点,则(+)·= (C) A.-10 B.-20 C.10 D.20 解析　因为E,F分别为AB,AC的中点,所以=-=-,=-=-,=-,所以+=--=-(+)。因为⊥,且||=4,||=6,所以(+)·=-(+)·(-)=-(-)=-×(16-36)=10。故选C。 8.(2023·湖北七市联合调研)已知||=3,||=2,|-3|=6,则|+|= (B) A.4 B. C.10 D.16 解析　因为|-3|=6,所以|-3|2=36,则||2-6·+9||2=36,又||=3,||=2,所以9-6·+36=36,即·=。因为|+|=|-|,所以|+|2=|-|2=-2·+=9-2×+4=10,所以|+|=。故选B。 二、填空题 9.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k= 3 。  解析　2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),因为(2a-3b)⊥c,所以2(2k-3)+(-6)=0,解得k=3。 10.已知向量a,b,|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是  ,a·(a+b)= 6 。  解析　设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cos θ=3-2cos θ=0,解得cos θ=。又0≤θ≤π,所以θ=,所以a·(a+b)=|a|2+|a||b|cos θ=3+2×=6。 11.如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=BD,AD=1,则·=  。  解析　由于AD⊥AB,所以△ABD是直角三角形,所以cos∠ADB=。·=(+)·=·+·=··=·||·||·cos ∠ADB=·||·||·=·||2=。 三、解答题 12.(2023·青海西宁模拟)在△ABC中,BC的中点为D,设向量=a,=b。 (1)用a,b表示向量; (2)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,<a,b>=60°,求·的值。 解　(1)=(+)=a+b,所以=a+b。 (2)·=a·a+b=a2+a·b=×32+×3×2×cos 60°=6,所以·=6。 13.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61。 (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面积。 解　(1)因为(2a-3b)·