微练29 平面向量的基本定理及坐标表示-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十九)　平面向量的基本定理及坐标表示 基础过关 一、选择题 1.在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是 (D) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析　因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1)。 2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 (B) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析　对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B中e1与e2不共线,可以表示a。 3.(2023·吉林重点高中月考)如图,若=a,=b,=c,B是AC上靠近点C的四等分点,则 (C) A.c=b-a B.c=b+a C.c=b-a D.c=b+a 解析　c==+=+=+(-)=-=b-a。 4.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= (A) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析　根据题意得=(3,1),所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4)。故选A。 5.(2023·太原市月考)设向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为 (A) A.-2 B.1 C.-2或1 D.m的值不存在 解析　向量a=(m,2),b=(1,m+1),因为a∥b,所以m(m+1)=2×1,解得m=-2或m=1。当m=1时,a=(1,2),b=(1,2),a与b的方向相同,舍去;当m=-2时,a=(-2,2),b=(1,-1),a与b的方向相反,符合题意。故选A。 6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为 (D) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 解析　由题意知4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4,-6)。故选D。 7.已知向量a=,b=(cos α,1),α∈,且a∥b,则sin= (C) A.- B. C. D.- 解析　因为向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,所以=tan αcos α=sin α。因为α∈,所以sin=-cos α==。故选C。 8.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为 (A) A. B. C.1 D.3 解析　因为=,=m+,所以=m+。因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=。 二、填空题 9.已知向量a=(m-1,2),b=(3,m+4),若a∥b,且方向相反,则|b|=  。  解析　依题意可设a=tb(t<0),则(m-1,2)=t(3,m+4),所以解得从而b=(3,-1),所以|b|=。 10.已知矩形ABCD的两条对角线交于点O,点E为线段AO的中点,若=m+n,则m+n的值为 - 。  解析　如图所示,因为点E为线段AO的中点,所以=(+)=+=-+-=-。又=m+n,所以m=,n=-,故m+n=-。 11.(2023·东北三校联考)已知向量a=(x-1,2),b=(y,-4),若a∥b,则9x+3y的最小值为 6 。  解析　因为a∥b,所以(x-1)×(-4)-2y=0,即2x+y=2,所以9x+3y=32x+3y≥2=2=2=6,当且仅当32x=3y,即x=,y=1时,等号成立,所以9x+3y的最小值为6。 12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为 (-3,9) 。  解析　因为点C在∠AOB的平分线上,所以存在λ∈(0,+∞),使得=λ+=λ(0,1)+λ-,=-,,又||=3,所以-2+2=90,解得λ=5(舍去负值),所以向量=(-3,9)。 三、解答题 13.已知a=(1,0),b=(2,1)。 (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线? (2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值。 解　(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)。因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-。 (2)=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)。因为A,B,C三点共线,所以∥。所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=。 14.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0