微练27 解三角形的综合应用-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十七)　解三角形的综合应用 基础过关 一、选择题 1.如图,两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°的方向上,灯塔B在观察站南偏东60°的方向上,则灯塔A在灯塔B (D) A.北偏东10°的方向上 B.北偏西10°的方向上 C.南偏东80°的方向上 D.南偏西80°的方向上 解析　设题图中的两条虚线交于点D。由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°的方向上。 2.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 (A) A. km B. km C. km D.2 km 解析　如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,所以=,所以AC=2×=(km)。 3.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=120°,sin C=,c=2,则△ABC的面积等于 (A) A. B.2 C. D. 解析　由正弦定理=,得b===。由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=a2+4+2a,解得a=1或a=-3(舍去),所以S△ABC=acsin B=×1×2×=。故选A。 4.(2023·郑州市质量检测)在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为 (A) A. B. C. D. 解析　由条件知长为a的边对应的角最小,设为A,则由余弦定理,得cos A==,解得a=3或a=-2(舍去),则三边长分别为3,5,7,且sin A=,所以△ABC的面积S=×5×7×=。故选A。 5.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A= (C) A. B. C.- D.- 解析　设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csin =c,则a=c。在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c。由余弦定理,可得cos A===-。故选C。 6.(2023·昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD中,∠D=90°,∠BAD=120°,AD=1,AC=2,AB=3,则BC= (C) A. B. C. D.2 解析　如图,在△ACD中,∠D=90°,AD=1,AC=2,所以∠CAD=60°。又∠BAD=120°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°。在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=7,所以BC=。故选C。 7.某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段),想要将它们作为三角形的三条高线来制作一个三角形。经测量,其长度分别为3 cm,4 cm,6 cm,则 (C) A.能作出两个锐角三角形 B.能作出一个直角三角形 C.能作出一个钝角三角形 D.不能作出这样的三角形 解析　因为三条高线的长度分别为3 cm,4 cm,6 cm,所以与高线对应的三角形的三边长之比为4∶3∶2,设它们的长度依次为4k,3k,2k,k>0,最长边所对的角为α,则cos α==-<0,而α为三角形内角,故α为钝角,故能作出一个钝角三角形。故选C。 8.(2023·合肥市质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。若asin A+2csin C=2bsin Ccos A,则角A的最大值为 (A) A. B. C. D. 解析　由正弦定理可得a2+2c2=2bccos A,根据余弦定理得b2+c2-2bccos A+2c2=2bccos A,整理得4bccos A=b2+3c2≥2bc,所以cos A≥,又A∈(0,π),所以0<A≤。故选A。 二、填空题 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=,B=,则A等于  。  解析　因为△ABC中,a=,b=,B=,由正弦定理,可得=,所以sin A==,因为a<b,所以A<B,所以A∈0,,可得A=。 10.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立。甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几何?”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7步/秒,乙的速度为3步/秒,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇,则甲、乙共走了 35 步。  解析　由题意,得到示意图如图所示,甲、乙从A点出发,甲走到B处后,又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇,即在C点相遇,假设甲、乙相遇时经过时间为t秒,每步走a米,则AC=3ta,AB=10a,BC=(7t-10)a,所以BC2=AB2+AC2,即(7t-10)2a2=100a2+9t