微练26 正弦定理和余弦定理-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十六)　正弦定理和余弦定理 基础过关 一、选择题 1.已知在△ABC中,a=1,b=,A=,则B= (A) A.或 B. C. D. 解析　由正弦定理=可得sin B===,因为a<b,所以A<B,B∈(0,π),所以B=或B=。 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=,c=2,cos A=,则b= (D) A. B. C.2 D.3 解析　由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3。 3.在△ABC中,a=1,A=,B=,则c= (A) A. B. C. D. 解析　sin C=sin(π-A-B)=sin+=,由正弦定理=,得c===。 4.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A= (C) A. B. C. D. 解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A,所以2b2(1-sin A)=2b2(1-cos A),所以sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,所以A=。 5.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为 (B) A. B. C.2 D.2 解析　因为S=AB·ACsin A=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=22+12-2×2cos 60°=3,所以BC=。 6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为 (B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析　由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即sin(B+C)=sin A=sin Asin A,于是sin A=1,即A=90°,所以△ABC的形状为直角三角形。 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为,则b等于 (C) A. B. C.1+ D.2+ 解析　因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c　①,由△ABC的面积为可知acsin 30°=ac=,则ac=6　②,在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得b2=a2+c2-2accos 30°=a2+c2-ac　③,联立①②③,可得b=1+。故选C。 8.在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为 (A) A.4 B.3 C.2 D. 解析　在△ABC中,AB=2,C=,则2R==4(R为△ABC外接圆的半径),所以AC+BC=4sin B+4sin A=4sin-A+4sin A=2cos A+6sin A=4sin(A+θ),其中sin θ=,cos θ=,不妨取0<θ<,由于0<A<,所以0<A+θ<,所以AC+BC的最大值为4。故选A。 二、填空题 9.(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白。如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积。设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=  。  解析　因为a=,b=,c=2,所以S===。 10.(2023·东北三校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,b-c=2,cos A=,则a的值为 4 。  解析　因为A∈(0,π),cos A=,所以sin A==,又S△ABC=bcsin A=,所以bc=8,结合b-c=2,解得b=4,c=2。由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=16+4-2×8×=16,故a=4。 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若5asin A+5bsin B+8asin B=5csin C,则tan C= - 。  解析　利用正弦定理,得5a2+5b2+8ab=5c2,即a2+b2-c2=-ab,所以由余弦定理,得cos C===-。又0<C<π,所以sin C==,tan C==-。 三、解答题 12.在①b2+ac=a2+c2,②acos B=bsin A,③sin B+cos B=2这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答该问题。 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,　　　　,A=,b=。  (1)求角B的大小; (2)求△ABC的面积。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　(1)若选择①,则由b2+ac=a2+c2得a2+c2-b2=ac,又由余弦定理得cos B===,又B为△ABC的内角,所