微练24 三角函数的周期性、奇偶性与对称性-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十四)　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 基础过关 一、选择题 1.函数f(x)=tan的周期为 (C) A. B. C.π D.2π 解析　函数f(x)=tan的周期为=π。故选C。 2.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (B) A.x= B.x= C.x= D.x=- 解析　令2x+=kπ(k∈Z),则x=-,k∈Z,当k=1时,x=。故选B。 3.下列各点中,可以作为函数y=sin x-cos x+1图象的对称中心的是 (A) A. B. C. D. 解析　y=sin x-cos x+1=2sinx-+1,由x-=kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),当k=0时,x=,所以该函数图象的一个对称中心可以为。故选A。 4.函数y=a-bcos 3x(b<0)的最大值为,最小值为-,则y=sin(4a-b)πx的周期是 (B) A. B. C. D. 解析　因为b<0,所以函数y=a-bcos 3x的最大值为a-b,最小值为a+b,由已知得解得所以y=sin(4a-b)πx=sinπx=sin 3πx,所以y=sin(4a-b)πx的周期为=。故选B。 5.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (D) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 解析　f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=,则f(x)的最小正周期为T==,且为偶函数。 6.已知函数f(x)=2cos2x++φ|φ|<为奇函数,则φ= (D) A.- B.- C. D. 解析　因为f(x)为奇函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),则φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=。 7.(2023·河南洛阳模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象 (B) A.关于点,0对称 B.关于直线x=对称 C.关于点,0对称 D.关于直线x=对称 解析　因为函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sinωx+(ω>0)的最小正周期为=π,所以ω=2,所以f(x)=sin2x+。令x=,得f=sin≠0,且f不是最值,故A、D错误;令x=,求得f=,为f(x)最大值,故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确,C错误。故选B。 8.已知函数f(x)=给出下列四个结论: ①f(x)不是周期函数;②f(x)是奇函数;③f(x)的图象关于直线x=对称;④f(x)在x=处取得最大值。 其中所有正确结论的编号是 (A) A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②④ 解析　函数f(x)=的图象如图所示,由图可知,函数y=f(x)不是周期函数,①中结论正确;函数y=f(x)不是奇函数,②中结论错误;函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,③中结论正确;f=cos=cos=cos=0≠1,④中结论错误。故选A。 二、填空题 9.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则f=  。  解析　由题设及周期公式得T==π,所以ω=1,即f(x)=sinx+,所以f=sin=。 10.若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数,则φ=  。  解析　因为f(x)为奇函数,所以φ-=+kπ(k∈Z),φ=+kπ,k∈Z。又因为0<φ<π,故φ=。 11.设函数f(x)=cosωx-(ω>0)。若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为  。  解析　由题意得,当x=时,函数f(x)有最大值,故f=1,-=2kπ(k∈Z),所以ω=8k+(k∈Z),又ω>0,所以ωmin=。 三、解答题 12.已知函数f(x)=sin(2π-x)sin-x-cos2x+。 (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)当x∈0,时,求f(x)的最小值和最大值。 解　(1)由题意,得f(x)=(-sin x)(-cos x)-cos2x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期T==π;令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),故所求图象的对称轴方程为x=+(k∈Z)。 (2)当0≤x≤时,-≤2x-≤,由函数的图象(图略)可知,-≤sin2x-≤1。即0≤sin2x-+≤。故f(x)的最小值为0,最大值为。 13.(2023·四川简阳模拟)已知函数f(x)=sin2x++sin2x-cos 2x。 (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在[-20,20]内的零点个数。 解　(1)由题知f(x)=sin 2x+cos 2x+(1-cos 2x)-cos 2x=sin 2x-c