微练22 简单的三角恒等变换-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十二)　简单的三角恒等变换 基础过关 一、选择题 1.1-2cos267.5°= (C) A. B.- C. D.- 解析　1-2cos267.5°=-(2cos267.5°-1)=-cos 135°= 。故选C。 2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-3,4),则sin 2α= (A) A.- B.- C. D. 解析　由题意知sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-。故选A。 3.等于 (A) A. B. C. D.- 解析　原式===。选A。 4.若θ∈,,sin 2θ=,则sin θ等于 (D) A. B. C. D. 解析　因为θ∈,,所以2θ∈,π,cos 2θ≤0,所以cos 2θ=-=-。又因为cos 2θ=1-2sin2θ=-,所以sin2θ=,sin θ=。故选D。 5.设sin αcos β=1,则cos(α+β)的值为 (A) A.0 B.1 C.±1 D.-1 解析　因为sin αcos β=1,所以或所以所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=0。 6.已知tan α=2,tan β=3,α,β∈(0,π),则α+β的值为 (A) A. B.或 C. D. 解析　因为tan α=2>0,tan β=3>0,且α,β∈(0,π),所以α,β∈0,,则α+β∈(0,π),又因为tan(α+β)===-1,所以α+β=。故选A。 7.如图,某时钟显示的时刻为9:45,此时时针与分针的夹角为θ,则cos2θ= (D) A. B. C. D. 解析　时针从9点到10点转过的角度为,而到9:45是转过了此段的=,所以θ=×=,则cos2θ===。故选D。 8.已知α为第三象限角,且sin2α-2=2cos 2α,则sin的值为 (D) A.- B. C.- D. 解析　sin2α-2=2cos 2α⇒sin2α-2=2(1-2sin2α)⇒sin α=±,由α为第三象限角,所以sin α=-,cos α=-=-,所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=1-2sin2α=-,所以sin=(sin 2α-cos 2α)=。 二、填空题 9.= -4 。  解析　原式== ====-4。 10.(2023·四川成都期末)已知tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两根,则=  。  解析　因为tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两根,所以由一元二次方程根与系数的关系可得tan α+tan β=-,tan α·tan β=-,所以====。 11.(2023·福州市质检)写出一个使等式+=2成立的α的值 (答案不唯一,α=+,k∈Z中任意一个值均可) 。  解析　由+=2得 =2,所以sin2α+=sin2α+,所以2α++2α+=π+2kπ,k∈Z,即α=+,k∈Z时,等式可成立。故可填。 三、解答题 12.已知sinα+=,α∈,π。求: (1)cos α的值; (2)sin2α-的值。 解　(1)sinα+=,即sin αcos+cos αsin=,化简得sin α+cos α=　①,又sin2α+cos2α=1　②,由①②解得cos α=-或cos α=,因为α∈,π,所以cos α=-。 (2)由(1)知,sin α=,则cos 2α=1-2sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=-,所以sin2α-=sin 2αcos-cos 2αsin=-。 13.已知A,B均为钝角,且sin A=,sin B=,求A+B的值。 解　因为A,B均为钝角,且sin A=,sin B=,所以cos A=-=-,cos B=-=-,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=-×--×=。又因为<A<π,<B<π,所以π<A+B<2π,所以A+B=。 素养升级 14.(2023·太原市一模)sin 20°+sin 40°= (D) A.sin 50° B.sin 60° C.sin 70° D.sin 80° 解析　sin 20°+sin 40°=sin(60°-40°)+sin 40°=cos 40°-sin 40°+sin 40°=cos 40°+sin 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故选D。 15.(2023·甘肃诊断考试)函数f(x)=其中常数θ∈0,,且sin θ=。若f(f())=,则实数a=  。  解析　由已知,得f()=(1-log2)=1-=,所以f(f())=f=sin2×+θ++a=sinθ++a=。因为θ∈0,,且sin θ=,所以cos θ==,所以sinθ+=sin