微练21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(二十一)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础过关 一、选择题 1.已知cos α=-,则sin+2α= (A) A.- B. C.- D. 解析　sin+2α=-cos 2α=1-2cos2α=1-2×=-。故选A。 2.已知α是第四象限角,sin α=-,则tan-α= (D) A.-5 B.5 C.-7 D.7 解析　因为sin α=-,且α为第四象限角,则cos α=,tan α=-,所以tan-α===7。故选D。 3.若tan θ+=4,则sin 2θ= (D) A. B. C. D. 解析　因为tan θ+=4,所以+=4。所以=4,即=4。所以sin 2θ=。 4.-等于 (D) A.-2cos 5° B.2cos 5° C.2sin 5° D.-2sin 5° 解析　原式=-=(cos 50°-sin 50°)=2cos 50°-sin 50°=2sin(45°-50°)=2sin(-5°)=-2sin 5°。 5.已知sin 2α=,则cos2α-= (C) A. B. C. D. 解析　因为sin 2α=,所以cos2α-====。故选C。 6.设sin 2α-sin α=0,α∈,则tan 2α的值是 (A) A. B.- C. D.- 解析　由sin 2α-sin α=0,α∈,得2sin αcos α-sin α=sin α(2cos α-1)=0,所以2cos α-1=0,cos α=,则sin α=-=-,所以tan α==-,所以tan 2α===。故选A。 7.已知6sin αcos α=1+cos 2α,则tanα+= (C) A.2 B.3 C.2或-1 D.3或1 解析　因为6sin αcos α=1+cos 2α,所以6sin αcos α=2cos2α,解得cos α=0或tan α=。当cos α=0时,α=kπ+(k∈Z),则tanα+=tankπ++=tankπ+=-1(k∈Z);当tan α=时,tan==2。故选C。 8.已知sin(α+β)=1,α,β均为锐角,且tan α=,则cos β= (A) A. B. C. D. 解析　因为α,β均为锐角,sin(α+β)=1,所以α+β=,又tan α=,所以sin α=,cos α=,cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α=0+=。故选A。 二、填空题 9.已知tan θ=2,则cos 2θ= - ,tanθ-=  。  解析　由题意,cos 2θ=cos2θ-sin2θ====-。tanθ-====。 10.在△ABC中,tan A+tan B+=tan Atan B,则C=  。  解析　由已知得tan A+tan B=-(1-tan Atan B),所以=-,即tan(A+B)=-。所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,又0<C<π,所以C=。 11.已知cosα+-sin α=,则sinα+= - 。  解析　由cosα+-sin α=cos α-sin α-sin α=cos α-sin α=cos α-sin α=cosα+=sin-α=,得sin-α=。sinα+=-sin2π-α+=-sin-α=-。 三、解答题 12.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-。 (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值。 解　(1)因为α,β∈,所以-<α-β<。又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0。所以sin(α-β)=-。 (2)由(1)可得,cos(α-β)=。因为α为锐角,且sin α=,所以cos α=。所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=。 13.已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-。 (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值。 解　(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α。因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此cos 2α=2cos2α-1=-。 (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π)。又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2。所以tan α=,所以tan 2α==-,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-。 素养升级 14.魏晋南北朝时期,我国数学家祖冲之利用割圆术,求出圆周率π约为,是当时世界上最精确的圆周率结果,直到近千年后这一记录才被打破。若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°,则的值为 (B) A. B.- C.8 D.-8 解析　将π=4sin 52°