微练18 导数与函数的零点-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(十八)　导数与函数的零点 1.已知函数f(x)=(x-a2)ex+1。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在零点,求a的取值范围。 解　(1)f'(x)=(x-a2+1)ex,由f'(x)=0,得x=a2-1,当x<a2-1时,f'(x)<0,当x>a2-1时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,a2-1)上单调递减,在(a2-1,+∞)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)在x=a2-1处取得极小值,也是最小值,则f(x)min=f(a2-1)=1-,因为f(x)存在零点,且f(a2)=1>0,所以f(x)min=1-≤0,即≥1=e0,故a2-1≥0,解得a≤-1或a≥1,所以a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)。 2.(2023·西安八校一联)已知函数f(x)=ln x·ln(2x)。 (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设h(x)=f(x)-1,求证:h(x)在[1,+∞)上有唯一零点。 解　(1)由f(x)=ln x·ln(2x)(x>0),可得f'(x)=+,则f'(1)=ln 2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ln 2·(x-1)。 (2)证明:由h(x)=f(x)-1=ln x·ln(2x)-1,可得h'(x)==(x>0),当x∈0,时,h'(x)<0,当x∈,+∞时,h'(x)>0,则h(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增。又因为h(1)=-1<0,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以h(x)在[1,+∞)上有唯一零点。 3.已知函数f(x)=aex--b(其中a>0,e是自然对数的底数)。 (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y+1=0,求a,b的值; (2)若b=1,函数f(x)恰好有两个零点,求实数a的取值范围。 解　(1)f'(x)=aex-,由题意可知解得 (2)当b=1时,令f(x)=aex--1=0,得a=+1,令g(x)=+1,因为函数f(x)恰好有两个零点,所以g(x)的图象和直线y=a恰好有两个交点。g'(x)=。令h(x)=1-2x-ex,则h'(x)=-2-ex<0,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递减。又h(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h(x)>0,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,h(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减。所以g(x)的最大值为g(0)=1。当x∈(-∞,0]时,g(x)∈(-∞,1];当x∈(0,+∞)时,g(x)∈(0,1)。当a∈(0,1)时,g(x)=+1的图象和直线y=a恰好有两个交点,故a的取值范围是(0,1)。 4.已知函数f(x)=x-aex,a∈R。 (1)当a=时,证明:f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立; (2)讨论函数f(x)的零点个数。 解　(1)证明:当a=时,f(x)=x-ex-1,则f'(x)=1-ex-1。由f'(x)>0得x<1,此时f(x)单调递增,由f'(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减。所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)=x-ex-1≤0　①,变形得x≤ex-1,当x>0时,对x≤ex-1两边同时取自然对数,得ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号。所以ln x-x+1≤0　②。①+②,得f(x)+ln x-x+1≤0。所以当a=时,f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立。 (2)f(x)=0等价于x-aex=0,即=a。设h(x)=,则h'(x)=,当x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h(1)=。又当x<0时,h(x)<0,当x>0时,h(x)>0,且x→+∞时,h(x)→0,所以可画出h(x)大致图象,如图所示。所以当a≤0或a=时,f(x)在R上有唯一零点;当a>时,f(x)在R上无零点;当0<a<时,f(x)在R上有两个零点。 5.(2022·云南省统一考试)已知函数f(x)=(2a+1)x2-2x2ln x-4,e是自然对数的底数,∀x>0,ex>x+1。 (1)求f(x)的单调区间; (2)记p:f(x)有两个零点;q:a>ln 2。求证:p是q的充要条件。 要求:先证充分性,再证必要性。 解　(1)因为f(x)=(2a+1)x2-2x2ln x-4,所以f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x(a-ln x)。因为当0<x<ea时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,ea)上是增函数。因为当x>ea时,f'(x)<0,所以f(x)