微练17 导数与不等式恒成立-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(十七)　导数与不等式恒成立 1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=x(mex-1)。 (1)当m=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)当x>0时,f(x)≥x2-2x,求实数m的取值范围。 解　(1)当m=1时,f(x)=x(ex-1),则f(1)=e-1,由f'(x)=ex-1+xex,可得f'(1)=2e-1。所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(2e-1)(x-1),即(2e-1)x-y-e=0。 (2)由x(mex-1)≥x2-2x及x>0,得m≥。令g(x)=(x>0),则g'(x)=,当x∈(0,2)时,g'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以2是g(x)的极大值点,也是g(x)的最大值点,即g(x)max=g(2)=,所以m≥。故m的取值范围为。 2.已知函数f(x)=xln x-ax+2(a为实数)。 (1)若a=2,求f(x)在[1,e2]上的最值; (2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围。 解　(1)若a=2,则f(x)=xln x-2x+2(x>0),f'(x)=ln x-1。由f'(x)<0得0<x<e,由f'(x)>0得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,故f(x)在[1,e)上单调递减,在(e,e2]上单调递增。又f(e)=eln e-2e+2=2-e,f(1)=0-2×1+2=0,f(e2)=e2ln e2-2e2+2=2,所以函数f(x)在[1,e2]上的最小值为2-e,最大值为2。 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)≥0恒成立,得ln x+≥a恒成立。令g(x)=ln x+,则g'(x)=-=,当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0。所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则g(x)min=g(2)=1+ln 2,所以a≤1+ln 2,故a的取值范围为(-∞,1+ln 2]。 3.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x(a>0)。 (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+b,求a+2b的值; (2)设函数g(x)=-(a+2)x,若至少存在一个x0∈[e,4],使f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+2)+,所以f(1)=-(a+2)=2+b,f'(1)=1-(a+2)+2a=2,解得a=3,b=-,所以a+2b=-10。 (2)因为至少存在一个x0∈[e,4],使f(x0)>g(x0)成立,所以f(x)-g(x)=x2+2aln x>0在[e,4]上有解。当x∈[e,4]时,ln x>1,所以2a>-在[e,4]上有解。令h(x)=-(x∈[e,4]),则2a>h(x)min,h'(x)=-=-<0,所以h(x)在[e,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=-=-=-,所以2a>-,即a>-。 4.设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(a∈R)。 (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围。 解　(1)f'(x)=2x-(a+2)+=(x>0),又f'(3)=4-=0,所以a=6,经检验符合条件,所以f'(x)=,令f'(x)>0,有0<x<1或x>3;令f'(x)<0,有1<x<3,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),(3,+∞),单调递减区间是(1,3)。 (2)由题意f(x)≥1恒成立⇔f(x)min≥1。当a≤0时,令f'(x)>0,有x>1;令f'(x)<0,有0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-a-1,所以-a-1≥1,即a≤-2。当a>0时,分三种情况讨论:①当0<<1,即0<a<2时,存在f(1)=-a-1<0;②当>1,即a>2时,存在f(1)=-a-1<0;③当=1,即a=2时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,存在f(1)=-3<0。综上,可知a>0时,f(x)≥1不恒成立。故a的取值范围为(-∞,-2]。 5.(2023·沈阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+sin x,g(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且g(x)=ax+-2(a>0)。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对于∀x1∈[-1,1],∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)设x<0,则-