微练15 导数与函数的极值、最值-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(十五)　导数与函数的极值、最值 基础过关 一、选择题 1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则 (A) A.为f(x)的极大值点 B.-2为f(x)的极大值点 C.2为f(x)的极大值点 D.为f(x)的极小值点 解析　当x<-2时,f'(x)<0,当-2<x<时,f'(x)>0,当<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以-2为f(x)的极小值点,为f(x)的极大值点,2为f(x)的极小值点,所以只有A正确。 2.若函数f(x)=的极大值点与极小值点分别为a,b,则a+b= (C) A.-4 B. C.0 D.2 解析　f'(x)=,当-<x<时,f'(x)>0;当x<-或x>时,f'(x)<0。故f(x)=的极大值点与极小值点分别为,-,则a=,b=-,所以a+b=0。 3.(2023·内蒙赤峰模拟)函数f(x)=(x+1)ex的极值点是 (C) A.x=- B.-2,- C.x=-2 D.x=-1 解析　由函数f(x)=(x+1)ex可得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)>0,得x>-2,令f'(x)<0,得x<-2,所以f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减。所以当x=-2时,f(x)取得极小值,所以f(x)的极值点为x=-2。故选C。 4.函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是 (D) A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1 解析　f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,得x=0。令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0,则函数f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,f(-1)=e-1+1,f(1)=e-1,f(-1)-f(1)=+2-e<+2-e<0,所以f(1)>f(-1)。故选D。 5.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= (B) A.-1 B.- C. D.1 解析　由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=。又当x=1时,f(x)取得最大值-2,所以即所以a=b=-2,则f'(x)=,所以f'(2)==-。故选B。 6.已知函数f(x)=x3+mx2+nx+2,其导函数f'(x)为偶函数,f(1)=-,则函数g(x)=f'(x)·ex在区间[0,2]上的最小值为 (B) A.-3e B.-2e C.e D.2e 解析　由题意可得f'(x)=x2+2mx+n,因为f'(x)为偶函数,所以m=0,故f(x)=x3+nx+2,因为f(1)=+n+2=-,所以n=-3。所以f(x)=x3-3x+2,则f'(x)=x2-3。故g(x)=ex(x2-3)(0≤x≤2),则g'(x)=ex(x2-3+2x)=ex(x-1)(x+3),据此可知函数g(x)在区间[0,1)上单调递减,在区间(1,2]上单调递增,故函数g(x)的极小值,即最小值为g(1)=e1(12-3)=-2e。故选B。 7.已知函数f(x)=x2-ax+ln x-2有两个极值点,则a的取值范围是 (B) A.a<-2 B.a>2 C.a<-2或a>2 D.a≤-2或a≥2 解析　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-a+=(x>0),因为函数f(x)有两个极值点,所以f'(x)有两个变号零点,即解得a>2。故选B。 8.若直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1,曲线y=x+ln x相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (B) A.1 B.2 C. D. 解析　由题可得A(a,2a+1),B(a,a+ln a),所以|AB|=|2a+1-(a+ln a)|=|a+1-ln a|。令f(x)=x+1-ln x(x>0),则f'(x)=1-,当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得最小值,最小值为2>0,所以|AB|=|a+1-ln a|=a+1-ln a,其最小值为2。 二、填空题 9.已知函数f(x)=ln x-x,则f(x)的最大值为 -1 。  解析　由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减,故函数f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值,最大值为f(1)=-1。 10.(2023·福州市质量检测)已知函数f(x)=a+ln x在x=1时取得极值,则实数a= -2 。  解析　依题意,f'(x)=+,f'(1)=+1=0