微练13 变化率与导数、导数的计算-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(十三)　变化率与导数、导数的计算 基础过关 一、选择题 1.下列求导运算正确的是 (D) A.(cos x)'=sin x B.(3x)'=3x C.'= D.(xex)'=(x+1)ex 解析　对于A,(cos x)'=-sin x,故A错误;对于B,(3x)'=ln 3·3x,故B错误;对于C,'==,故C错误;对于D,(xex)'=(x+1)ex,故D正确。故选D。 2.曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线l如图所示,则f'(-1)+f(-1)= (C) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析　因为切线l过点(-2,0)和(0,-2),所以f'(-1)==-1,所以切线l的方程为y=-x-2,令x=-1,则y=-1,即f(-1)=-1,所以f'(-1)+f(-1)=-1-1=-2。故选C。 3.函数y=ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程为 (D) A.x+ey-1+e=0 B.x-ey+1-e=0 C.x+ey=0 D.x-ey=0 解析　y=ln x的导数为y'=,可得函数y=ln x的图象在x=e处的切线斜率为,且切点为(e,1),则切线的方程为y-1=(x-e),化简得x-ey=0。故选D。 4.(2023·四川泸州高三期末)已知函数f(x)=2e·f'(e)·ln x-(e是自然对数的底数),则f(e)等于 (C) A.e-1 B.-1 C.1 D.-1 解析　因为f(x)=2e·f'(e)·ln x-,所以f'(x)=-,所以f'(e)=2f'(e)-,解得f'(e)=,故f(x)=2ln x-。因此,f(e)=2ln e-1=1。故选C。 5.已知曲线y=x+在点(1,1)处的切线与直线x+2y=0垂直,则k的值为 (A) A.1 B.-1 C. D.- 解析　易知点(1,1)在曲线y=x+上。令f(x)=x+,则f'(x)=1+,所以f'(1)=1+,即曲线y=x+在点(1,1)处的切线的斜率为1+,又该切线与直线x+2y=0垂直,直线x+2y=0的斜率为-,所以1+=2,解得k=1。故选A。 6.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (D) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 解析　因为y'=aex+ln x+1,所以y'|x=1=ae+1。所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1,所以解得 7.已知函数f(x)=xln x,g(x)=x2+ax(a∈R),若经过点A(0,-1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切,则a= (D) A.0 B.-1 C.3 D.-1或3 解析　设直线l与f(x)的图象相切于点(x1,y1)。因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1,y1=f(x1)=x1ln x1,则直线l的方程为y-y1=(ln x1+1)(x-x1),又点A(0,-1)在直线l上,所以-1-x1ln x1=(ln x1+1)(0-x1),解得x1=1,所以y1=0,因此直线l的方程为y=x-1。直线l与g(x)的图象相切,所以x2+ax-x+1=0,Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3,故选D。 8.若直线y=x+b是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)的解析式不可能是 (D) A.f(x)=ex B.f(x)=x4 C.f(x)=sin x D.f(x)= 解析　直线y=x+b的斜率为。对于A,f(x)=ex的导数为f'(x)=ex,由ex=,解得x=-ln 2;对于B,f(x)=x4的导数为f'(x)=4x3,由4x3=,解得x=;对于C,f(x)=sin x的导数为f'(x)=cos x,易知cos x=有解;对于D,f(x)=的导数为f'(x)=-,方程-=无实数解。故选D。 二、填空题 9.设函数f(x)=。若f'(1)=,则a= 1 。  解析　由于f'(x)=,故f'(1)==,解得a=1。 10.若抛物线y=x2-x+c上的一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为 4 。  解析　易知P点在抛物线上,因为y'=2x-1,所以y'|x=-2=-5。又P(-2,6+c),所以=-5。所以c=4。 11.已知过点A(a,0)作曲线C:y=的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是 (-∞,0)∪(4,+∞) 。  解析　设切点为x0,,则y'=,所以切线方程为y-=(x-x0),切线过点A(a,0),代入得-=(a-x0),即方程-ax0+a=0有两个解,则有Δ=a2-4a>0⇒a>4或a<0。 三、解答题 12.已