微练7 幂函数与二次函数-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(七)　幂函数与二次函数 基础过关 一、选择题 1.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f= (C) A.3 B.-3 C. D.- 解析　设f(x)=xα,则=2α=3,所以f=α=。 2.已知幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)=f(x)+的最小值为 (A) A.1 B.2 C.4 D.6 解析　设幂函数f(x)=xα。因为f(x)的图象过点,所以2α=,解得α=-2。所以函数f(x)=x-2,其中x≠0。所以函数g(x)=f(x)+=+≥2=1,当且仅当x=±时,g(x)取得最小值1。 3.函数y=1-|x-x2|的图象大致是 (C) 解析　由x-x2≥0得0≤x≤1,所以y=由此可得函数图象为C。 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则|OA|·|OB|等于 (B) A. B.- C.± D.无法确定 解析　|OA|·|OB|=|xAxB|==-(因为a<0,c>0)。 5.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 (C) A.(-∞,-1) B.(-1,2] C.[-1,2] D.[2,5) 解析　二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图象可知m的取值范围是[-1,2]。 6.(2023·唐山市月考)不等式≤的解集是 (B) A. B. C. D. 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=与y=的图象,如图所示。当=时,x=,由图象知≤的解集是。故选B。 7.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(-1+x)=f(-x),那么 (B) A.f(0)<f(2)<f(-2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(-2)<f(0)<f(2) 解析　因为函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(-1+x)=f(-x),所以函数f(x)=x2+bx+c图象的对称轴方程为x=-,又f(x)的图象开口向上,所以f(0)<f(-2)<f(2)。故选B。 8.若函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,则m的取值范围是 (B) A.(5,9) B.(-11,-7) C.[5,9] D.[-11,-7] 解析　函数f(x)=x2+(m+1)x+3图象的对称轴方程为x=-,因为函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,所以3<-<5,解得-11<m<-7。故选B。 二、填空题 9.已知幂函数f(x)的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则不等式f(|x|)≤2的解集是 [-4,4] 。  解析　设幂函数为f(x)=xα,则α=,所以α=,所以f(x)=,不等式f(|x|)≤2等价于|x≤2,所以|x|≤4,所以-4≤x≤4。所以不等式f(|x|)≤2的解集是[-4,4]。 10.如果把抛物线y=a(x+1)2+6x-2的图象向右平移1个单位长度,新图象与直线y=-3x相交于点A(1,m),则a的值为 -1 。  解析　因为新函数图象与直线y=-3x相交于点A(1,m),所以m=-3×1=-3,即A(1,-3)。抛物线y=a(x+1)2+6x-2的图象向右平移1个单位长度,新图象对应的解析式为y=ax2+6(x-1)-2=ax2+6x-8,又A(1,-3)在该图象上,所以-3=a+6-8=a-2,得a=-1。 11.已知函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(3+x)=f(3-x),且f(4)<f(5),则不等式f(1-x)<f(1)的解集为 (-4,0) 。  解析　依题意,f(x)为二次函数,其图象关于直线x=3对称且开口向上,根据二次函数的对称性,若f(1-x)<f(1),即有1<1-x<5,所以-4<x<0。故不等式的解集为(-4,0)。 三、解答题 12.已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3。 (1)求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围。 解　(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(x)的最小值为1,所以可设f(x)=a(x-1)2+1,又f(0)=3,所以a=2,所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3。 (2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上单调,则或解得≤a<1或a≤0,所以实数a的取值范围为(-∞,0]∪。 13.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1。 (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y