微练6 函数的奇偶性与周期性-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

微练(六)　函数的奇偶性与周期性 基础过关 一、选择题 1.下列函数是奇函数的是 (D) A.y=cos x B.y=x2 C.y=ln|x| D.y=ex-e-x 解析　对于A,y=cos x是余弦函数,是偶函数,不符合题意;对于B,y=x2是二次函数,是偶函数,不符合题意;对于C,y=ln|x|的定义域为{x|x≠0},且ln|-x|=ln|x|,该函数是偶函数,不符合题意;对于D,y=ex-e-x的定义域为R,且e-x-ex=-(ex-e-x),该函数是奇函数,符合题意。故选D。 2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的是 (C) A.y=|log3x| B.y=x3 C.y=e|x| D.y=cos|x| 解析　对于A,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B,y=x3是奇函数;对于C,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增;对于D,y=cos |x|在(0,1)上单调递减。 3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)= (D) A.ex-e-x B.(ex+e-x) C.(e-x-ex) D.(ex-e-x) 解析　因为f(x)+g(x)=ex,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,所以g(x)=(ex-e-x)。故选D。 4.(2023·陕西部分重点高中联考)若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 (C) A.y=f(x+1)是偶函数 B.y=f(x-1)是偶函数 C.y=f(x+1)是奇函数 D.y=f(x-1)是奇函数 解析　因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即y=f(x+1)是奇函数。故选C。 5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有 (C) A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4,作出f(x)的草图,如图,由图可知f<f<f。故选C。 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2 022)= (B) A.-3 B.0 C.1 D.3 解析　由于f(x)为奇函数,且f(x)=f(3-x),所以f(3+x)=f(-x)=-f(x),从而知周期T=6,所以f(2 022)=f(0)=0。 7.若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k的值为 (C) A.-2 B.0 C.1或-1 D.2 解析　因为f(x)在定义域上为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=,即=,根据等式恒成立,可得k=±1。 8.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f-,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 (A) A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 解析　因为f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称。因为x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,所以x∈(-∞,1)时,f(x)单调递增,又f(3)=f(-1)且-1<-<0,所以f(-1)<f-<f(0),即b<a<c。 二、填空题 9.若f(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函数,则m= -3 。  解析　因为f(x)是奇函数,x∈R,所以f(0)=0,即35+m5=0,解得m=-3。 10.(2023·重庆质量调研)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)且f(x)=f(2+x),则函数f(x)的解析式可以是 f(x)=sin πx(答案不唯一) 。  解析　由x∈R,f(-x)=-f(x)知,函数f(x)为R上的奇函数。由f(x)=f(2+x)知,函数f(x)是周期为2的周期函数,故可考虑正弦型函数,如f(x)=sin πx,其周期T==2,且f(-x)=sin(-πx)=-sin πx=-f(x),定义域为R。 11.已知函数f(x)=ln+sin x+1,则f+f-= 2 。  解析　令g(x)=ln+sin x,则函数g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又g(-x)=ln+sin(-x)=ln-1-sin x=-ln-sin x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数。所以g+g-=0,所以f+f-=g+1+g-+1=g+g-+2=2。 三、解答题 12.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3。 (1)试求f(x)在R上的解析式;