解三角形 解答题专练-【赢在微点】2024高考文科数学大一轮复习顶层设计核心微练word（老高考）

解三角形　解答题专练 1.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bcosC+ccos B=2acos A。 (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为2,求b+c的值。 解　(1)因为bcos C+ccos B=2acos A,由正弦定理得,sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,所以sin(B+C)=sin A=2sin Acos A。又因为0<A<π,所以sin A≠0,所以cos A=,所以A=。 (2)因为△ABC的面积为2,所以bcsin A=2。因为A=,所以bcsin =2,所以bc=8。由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得12=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,所以b+c=6。 2.(2023·武汉调研考试)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且sin Asin 2A=(1-cos A)(1-cos 2A)。 (1)求角A; (2)若△ABC的面积S=(8b2-9a2),求cos B。 解　(1)由题意得,sin A·2sin Acos A=(1-cos A)·2sin2A。因为sin A≠0,所以cos A=1-cos A,有cos A=,因为0<A<π,所以A=。 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及(1),得a2=b2+c2-bc。又S=(8b2-9a2)=bcsin A,所以[8b2-9(b2+c2-bc)]=bc,整理得b2-6bc+9c2=0,即(b-3c)2=0,所以b=3c,此时a==c,所以cos B===-。 3.(2023·佛山市质量检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,且(sin A+sin B)sin C+cos 2C=1。 (1)求证:5a=3c; (2)若△ABC的面积为15,求c。 解　(1)证明:依题意得(sin A+sin B)sin C=1-cos 2C=2sin2C,又sin C≠0,所以sin A+sin B=2sin C,由正弦定理==得a+b=2c。由余弦定理得cos B=,得-=,将b=2c-a代入,得-=,整理得5a=3c。 (2)由(1)知a=c,所以△ABC的面积S△ABC=acsin B=·c2·=15,整理得c2=100,解得c=10或c=-10(舍去),所以c=10。 4.(2023·山东淄博模拟)在①cos 2B-sin B+2=0,②2bcos C=2a-c,③=三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答。 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若　　　　,且a,b,c成等差数列,则△ABC是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由。  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　选①,因为cos 2B=1-2sin2B,所以2sin2B+sin B-3=0,即(2sin B-)(sin B+)=0,解得sin B=-(舍去)或sin B=。因为0<B<π,所以B=或,又a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以b不是三角形ABC中最大的边,所以B=。由b2=a2+c2-2accos B,得b2=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,即a=c,故△ABC是等边三角形。 选②,由正弦定理可得2sin Bcos C=2sin A-sin C,故2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,整理得2cos Bsin C-sin C=0。因为0<C<π,所以sin C>0,所以cos B=。因为0<B<π,所以B=。又a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得b2=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,即a=c,故△ABC是等边三角形。 选③,由正弦定理得=,因为sin A≠0,所以sin B-cos B=1,即sinB-=,因为0<B<π,所以-<B-<,所以B-=,可得B=。又a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得b2=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,即a=c,故△ABC是等边三角形。 5.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin 2B=bsin A。 (1)若a=3,b=,求c; (2)求的取值范围。 解　(1)由正弦定理及asin 2B=bsin A,得sin A·2sin Bcos B=sin Bsin A,因为sin A≠0,sin B≠0,所以cos B=,所以B=。由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=9+c2-2×3ccos,即c2-3c+2=0,解得c=1或