高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册知识点归纳

高中数学选择性必修第一册必备知识手册2024一轮复习 【空间向量与立体几何】 1、O是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数，使得。 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量。这样直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 2、如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线平行或重合，那么称向量平行于直线。如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 3、如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（，）使。 4、向量向向量投影，得到与向量共线的向量，则，向量称为向量在向量上的投影向量。 5、三垂线定理 在平面的一条直线，如果与这个平面内的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 6、定理 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（，，），使得。 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是。这个集合可看作由向量，，生成的，我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 7、在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别为，，的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分。画空间直角坐标系时，一般使°（或45°），°。在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 8、在空间直角坐标系中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（，，）使。在单位正交基底{，，}下与向量对应的有序实数组（，，），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（，，），其中叫做A点的横坐标，叫做A点的纵坐标，叫做A点的竖坐标。 9、在空间直角坐标系中，给定向量，作，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（，，）使。有序实数组（，，）叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作。这样，在空间直角坐标系中，空间中的点坐标和向量都可以用三个有序实数表示。符号（，，）具有双重意义。 10、设，， ， ， ，（） 。 当时，（） ； ； 11、空间两点间的距离公式 12、在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量。 13、给定空间一点A和一条直线，则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的。我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面。若直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量。给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为 集合{P|＝0}。 14、若两条直线平行，则它们的方向向量平行；反之，若两条直线的方向向量平行，则这两条直线平行。 15、一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。 16、求直线外一点P到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，P是直线外一点， 设，则向量在直线上的投影向量，在Rt△APQ中，由勾股定理，得。 17、求平面外一点P到平面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点。 过点P作平面的垂线，交平面于点Q，则是直线的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度。因此。 18、若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则。 19、直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为，平面的法向量为，则。 20、平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。若平面，的法向量分别是和，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角。设平面与平面的夹角为，则 。 【直线和圆的方程】 1、当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所称的角叫做直线的