高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册知识点归纳

高中数学选择性必修第三册必备知识手册2024一轮复习 【计数原理】 1、一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 2、一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 3、一般地，我们有：元集合A＝{，，…，}的不同子集有个。 4、一般地，从个不同元素中取出（）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 5、我们把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 6、排列数公式：，其中，*，并且。特别地，我们把个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列。这时排列数公式中，即有。也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积。正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。于是，个元素的全排列数公式可以写成。另外，我们规定，。 7、排列数公式还可以写成，它还有另一个变形。 8、一般地，从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 9、从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 10、根据分步乘法计数原理，有 。 因此，组合数公式：，这里，*，并且。 11、因为，所以上面的组合数公式可以写成。另外，我们规定。 12、常见排列组合变形公式： （1）； （2）； （3） （4）。 13、二项式定理：，*。右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数（＝0，1，2，…，）叫做二项式系数。式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：。 14、二项式系数有以下性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；这一性质可以直接由得到。直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴。 （2）增减性与最大值：因为，即，所以当＞1时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小。当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和：若令二项式的，，得。这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于。 （4）奇数项和偶数项：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 15、杨辉三角的特征：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加。杨辉三角的第行的第个数可以表示为，第行就是的展开式的二项式系数。把上述特征用公式表示，有。 【随机变量及其分布】 1、一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。 2、一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足相互独立。 3、由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝P（A）P（B|A）。我们称它为概率的乘法公式。 4、求条件概率由两种方法：一种是基于样本空间，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。 5、条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质。如果P（A）＞0，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）； （3）设和B互为对立事件，则。 6、一般地，设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，1，2，…，，则对任意的事件，有。我们把它称为全概率公式。 7、贝叶斯公式：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，1，2，…，，则对任意的事件，P（B）＞0，有 ，1，2，…，。 8、一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量。其中，可以取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如，，。 9、一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，…，，我们称X取每一个值的概率 ，1，2，…， 为X的概率分布列，简称分布列。 10、根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： （1），1，2，…，； （2）。 11、对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义，如果，则，那么X的分布列如表： X 0 1