高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册知识点归纳

高中数学选择性必修第二册必备知识手册2024一轮复习 【数列】 1、一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。其中第1项叫做首项。项数有限的的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 2、数列的一般形式是，，…，，…，简记为。由于数列中的每一项与它的序号是一一对应的，所以数列是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集R的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为。也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值，，…，，…就是数列。 3、一般函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。与函数类似，我们可以定义数列的单调性。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列。 4、如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项。 5、或常常用来表示正负相间的变化规律。 6、如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项。 7、我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 。 显然，而，于是我们有 8、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常熟，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 9、由三个数，A，组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫做与的等差中项。根据等差数列的定义可以知道，。 10、首项为，公差为的等差数列的通项公式为。 11、由于，所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即。与此相通，任给一次函数（，为常数），则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为。 12、已知数列是等差数列，，，，*，且，则 。 13、等差数列的前项和公式。把等差数列的通项公式代入公式，可得。 14、等差数列的前项和公式可以写成，所以当时，可以看成二次函数（）当时的函数值。 当时，关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点； 当时，关于的图像是一条开口向上的抛物线上的一些点。 15、已知是等差数列的前项和，则是等差数列。 16、已知等差数列的公差为，则，这个公式可以从直线的斜率这个角度来理解。 17、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（显然）。 18、与等差中项类似，如果在与中间插入一个数G，使，G，成等比数列，那么G叫做与的等比中项，此时，。 19、首项为，公比为的等比数列的通项公式为 。 20、类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是指数函数（）当时的函数值。与此相通，任给指数函数（，为常数，，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为。 21、等比数列的前项和公式，因为，所以还可以写成 。 22、已知等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，这个数列的公比为。 23、已知，且，对于*， 。 24、一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当（*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当（*，）时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 25、记是一个关于正整数的命题。我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为真；（2）若（*，）为真，则也为真。 结论：为真。 26、数学归纳法常见的应用公式： ①； ②； ③。 27、类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立。 名称 等差数列 等比数列 定义 通项公式 常用性质 若（，，，*），则 若（，，，*），则 【一元函数的导数及其应用】 1、对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时，的变化量为，的变化量为。我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率。 2、如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。 3、可以是正值