福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

永春一中高二年期末考试数学科试卷（2023.06） 考试时间：120分钟 满分：150分 试卷共4页 1. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.若曲线在处的切线方程为，则（ ） A.， B.， C.， D.， 5.若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ） A. B. C.的最大值为 D.的最大值为 6.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7.若，，，则（ ） A. B. C. D. 8.已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( ) A. B. C. D. 2. 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项是符合题目要求的。全部选对得5分，选对但不全得2分，有错选的得0分。 9.以下说法正确的是（ ） A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95 B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点 C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强 D.已知随机事件A，B满足，且，则事件A与B不互斥 10.正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ） A.与是异面直线 B.平面平面 C.存在点使得 D.当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为 11.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ） A.双曲线的离心率为 B.过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4 C.若的角平分线与轴交点为，则 D.若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则 12.已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（ ） A. B.函数的图象关于直线对称 C.函数的图象关于直线对称 D. 三．填空题（每空5分，共20分） 13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________. 14.已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则ω的取值范围是___________. 15.已知A，B，C，D为抛物线上不同的四点，直线AB，CD交于点，直线AD经过E的焦点F，若直线AD的斜率为直线BC斜率的4倍，则______． 16. 已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数a的取值范围为______． 四．解答题（70分，解答应写出演算步骤，证明过程） 17.（10分）已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且. （1）求证：； （2）求的最小值. 18.（12分）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，，都有． （1）求数列、的通项公式； （2）设，，恒成立，求实数的取值范围． 19.（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 20.（12分）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道． （1）求甲能获得奖品的概率；（2）记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望． 21.（12分）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积． 22.（12分）已知函数，. （1）当时，求的单