2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（多选）3

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（多选）3 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——多选3： （多选4，2023年闽J22龙岩一中）定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ [endnoteRef:2] ） [2: 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D. 【详解】因为为奇函数，所以， 取可得，A对， 因为，所以 所以，又，即， ，故， 所以函数的图象关于点对称，B错， 因为，所以 所以，为常数， 因为，所以， 所以，取可得， 所以，又，即， 所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 所以， 故的值为0，D正确； 因为，即 故函数也为周期为4的函数，C正确. 故选：ACD. 【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项. ] A. B. 函数关于对称 C. 函数是周期函数 D. （多选4，2023年闽J23龙岩检测） 已知函数为的导数，则下列说法正确的是（[endnoteRef:3] ） [3: 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性； 对B 选项，当时，，可选用特殊值代入判断； 对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可； 对D选项，借助C选项得到的单调性的结论，采用隐零点的方法来解决. 【详解】当时，令， 当时，在上递减.A正确. 当时，若，则错误. 当时，， 令，则， 令，则， 当时，递增，又， 所以在上存在唯一的零点， 则当，，递减，当，，递增， 是在区间上的唯一极小值点正确. 由上可知在递减，， 在递增，存在，使， 当时，递减，当时，递增， 又，得在上有一个零点. 当时，递增，为其一个零点. 当时，， 在上不存在零点D正确. 故选：ACD. ] A. 当时，在区间单调递减 B. 当时，恒成立 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有且仅有2个零点 （多选4，2023年闽J32宁德检测）已知函数的图象关于直线对称.当时，，则以下结论正确的是（[endnoteRef:4] ） [4: 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对称性定义和区间转化可求对称区间解析式，对和两个区间分别求解不等式解集，可得的解集，把零点问题利用分离参数法转化为两个图象交点个数问题，即可求出的取值范围，对恒成立问题用分离参数法，求出相应函数的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于选项A，因为当时，， 当时，， 所以， 即， 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以当时，，故选项A正确； 对于选项B，当时，当时，， 当时，， 现在先证，令， 则， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以， 即，所以，当且仅当等号成立， 当时，，不满足， 所以不成立， 当时，， 所以，即， 令，则有，① 或 ②， 解不等式组①，因为，则有 所以， 解不等式组②，因为，则有 所以， 所以的解集为，故选项B不正确； 对于选项C，因为恰有四个零点， 所以当时，恰有两个零点，且当时，恰有两个零点， 且时，， 因为，， 所以，故， 当时，， 令，则有或， 因为当时，恰有两个零点， 所以有一个解且不为， 当解为时，可求， 所以； 因为，所以，即， 所以与在时的图象有一个交点，且交点横坐标不为， 令，则， 当时，， 所以在单调递减，所以， 当逼近于时，逼近于，且， 因为与在时的图象有一个交点， 所以，且， 因为函数的图象关于直线对称， 所以当时，同理可得且， 所以当恰有四个零点，则的取值范围是，故选项C不正确； 对于选项D，若对， 因为函数的图象关于直线对称， 所以只需研究时的取值； 因为，， 所以，即， 显然当时，成立，； 当时，，利用分离参数法，，所以 令，则， 当时，，所以在单调递减，所以， 所以； 当时，恒成立，即所以 当时，，所以在单调递减，所以， 所以； 综上所述：，故选项D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛： 本题求解的关键有两个：一是把零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题求解；二是恒成