2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）13

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）13 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题13： （2023年粤J25广州白云）已知函数． （1）若f（x）在处的极小值为2，求，b的值；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与极值的关系求解，注意验证. （2）对分类讨论，确定的单调性并求出最小值即可. 【小问1详解】 由题知，． 在处的极小值为2， ，即. 此时，当时，f（x）单调递减； 当时，，f（x）单调递增； 满足f（x）在处取得极小值． 【小问2详解】 ． 设，则， 当0时，， ∴，∴在上为增函数． ∴，即 ∴当时，，∴在上为增函数． ∴当时，，符合题意； 当时，由在[0，＋∞）上为增函数， 且， 则存在，使得，且,,, 于是g（x）在上单调递减，在，＋∞）上单调递增，则有 此时不恒成立．不符合题意. 综上可得实数的取值范围为. 【点睛】(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． (2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． （3）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ] （2）设，当时，，试求的取值范围． （2023年粤J26广州）已知，函数. （1）若，证明：当时，：（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，构造函数，借助导数确定单调性推理作答. （2）由给定条件确定a的取值范围，再分段讨论函数的极小值点及极小值推理判断作答. 【小问1详解】 若，则，设， ，设， ，则在上单调递增，，即， 于是在上单调递增，，即， 所以当时，. 【小问2详解】 函数，其定义域为， ， 由（1）知在上单调递增，， 当时，，当时，， 则由，解得或，其中且，即且， 否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意， 若，即，当时，， 当时，，则在上单调递增， 在上单调递减，因此是的极小值点，， 若，即，当时，， 当时，，则在上单调递增， 在单调递减，因此是的极小值点， ，又，于是， 综上所述，函数存在极小值点. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. ] （2）若函数存在极小值点，证明： （2023年粤J27广州二模）已知函数，. （1）当时，，求实数的取值范围；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出，在时，可得出，在时，，分析可知，综合可得出实数的取值范围； （2）由（1）变形可得，令，可得出，可得出，，证明出，可得出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 解：令，则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以，，即， 所以，当时，，即， 当时，取， 由于，而，得， 故，不合乎题意. 综上所述，. 【小问2详解】 证明：当时，由（1）可得，则， 可得，即，即， 令，所以，，所以，，即， 所以，，， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，故，则， 所以，，， 所以， . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. ] （2）已知，证明：. （2023年粤J28广州冲刺）已知函数． （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求导对分类讨论的正负得出的单调性； （2）变形，利用导数对的值进行分类讨论，得出函数的单调性，由单调性即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）由题知，的定义域为， ∴． （对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性） 当时，