2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）12

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）12 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题12： （2023年冀J11衡水二中）已知函数，其中 （1）求的单调区间（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）单调增区间是,单调减区间是 （2）个 【解析】 【分析】(1)求的导函数,解导函数不等式,即可求出单调递增和递减区间; (2)利用（1）中函数的单调性可得相应的方程，再构建新函数，从而可判断相应方程的根，注意结合这个性质. 【小问1详解】 当,,又因为,所以,单调增区间; 当,,又因为,所以,是单调减区间; 【小问2详解】 对于方程, 当, 当在是单调递增的; 方程,所以, 设 ,设,, 在是单调递增的，而， 故当时，，当时，， 故在上是单调递增，在上单调递减. 故在上有， 下证当， 设，则， 故在上为增函数，故， 故原不等式成立. 由可得， 故当时，有， 故此时方程在上有且只有一个实数根. 当时，， 由在为减函数可得，其中， 因为在为减函数，故在为减函数， ，， 因为，故，所以，故， 故方程在上有且只有一个实数根. 若，则， 而由的解析式可得. 故方程即为， 此时，故，其中， 设，，则， 故在上为减函数，而， ， 故此时在有且只有零点 即在有且只有一个零点， 方程的零点个数有个 【点睛】思路点睛：复合方程的解的个数讨论，应该根据外函数的单调性和函数解析式满足的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，后者可进一步利用导数来处理. ] （2）求方程的零点个数. （2023年冀J12衡水四测）已知函数.（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【小问1详解】 由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. 【小问2详解】 设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解. ] （1）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数和有公切线，求实数的取值范围. （2023年冀J19唐山二模）已知函数 （1）求的极值；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调性，进而可求极值， （2）将问题转化成证明当时，，构造函数和，导数的正负即可求解单调性即可求证. 【小问1详解】 因为，所以， 由，解得，由，解得 所以在单调递增，在单调递减， 因此，在处取得极大值，无极小值． 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递减， 且，，，， 不妨设，要证，只要证 而，，且在单调递减， 所以只要证，即证， 即证． 即证当时，， 令，， 则 令， 则 因为，所以，，所以， 即在单调递减， 则，即，所以在单调递增， 所以， 即当时，， 所以，原命题成立． 【点睛】思路点睛：本题考查了导数的综合运用.利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. ] （2）若，，，，证明： （2023年冀J20唐山三模）已知函数. （1）讨论函数的单调性；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对a进行讨论，利用导函数的正负分析单调性即可； （2）要使恒成立，则只需恒成立，对a进行讨论，并根据（1）中所得单调性，即