2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）10

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）10 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题10： （2023年湘J60张家界三月）已知函数,. （1）,求的最值;（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）最大值是,无最小值 （2） 【解析】 【分析】(1)求导研究函数单调性即可求得最值. (2)分析函数的零点,本质上是分析函数的单调性与极值的问题,求导之后发现导数有一个零点含参,需对导数的该零点进行分类讨论,从而讨论函数单调性和极值的情况,结合极限,即可分析函数的零点个数.难点在于定义域是,需要对参数进行分类讨论. 【小问1详解】 由题意可得,定义域为. 设,由,得,由,得. 则在上单调递增,在上单调减, , 故在上的最大值是,无最小值. 【小问2详解】 由题意可得, , 的定义域是. ①当,即时,时,时, 则在上单调递减,在上单调递增. 因为时,,时,, 所以要有两个零点, 则,解得,故; ②当,即时,由,解得, 因为,所以,则有且仅有1个零点,故不符合题意; ③当,即时,由,得或, 由,得, 则在和上单调递增,在上单调递减. 因为时,,时,, 所以要有两个零点,则或 , 若,解得,不符合题意, 若,设,则化为, 时,,, 所以,无解, 即无解,故不符合题意; ④当,即时,恒成立,则在上单调递增,从而最多有1个零点,则不符合题意; ⑤当,即时,由,得或,由,得, 则在和上单调递增,在上单调递减. 因为时,,时,, 所以要有两个零点,则或. 若解得,不符合题意, 若. 设,则化为, 由（1）知在上单调递减,所以,无解, 即无解,故不符合题意. 综上,的取值范围是. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,函数零点个数问题,难点在于函数定义域是,因此导数的零点需要根据定义域分类讨论,在定义域内有一个根, 还是两个根,有两个根时还需要比较两根的大小,从而得出函数单调性极值,由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性,从而得出结论.分类不清易出错. ] （2）若函数恰有两个不同的零点,求的取值范围. （2023年湘J66二联考）已知函数，其中是自然对数的底数. （1）当时，讨论函数的单调性；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解； （2）首先求出函数的导函数，令，求出，再分、、、四种情况讨论，结合函数的单调性即可判断. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，令解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，所以， 令，则， 当时，，与对任意的，恒成立矛盾，不合题意； 当时，，即在上单调递增， 又因为，， 故存在使得，故当时，此时， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 当时，，即在上单调递增， 又因为， 故当时，，此时，所以在上单调递减， 当时，，此时，所以在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，，即在上单调递增， 又因为，， 故存在使得，故当时，，此时， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 综上可得. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． ] （2）当时，若对任意的恒成立，求的值. （2023年湘J67名校演练）已知函数，是的导函数． （1）判断是否为的极值点，并说明理由；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）不是极值点，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导得即可判断； （2）根据题意，将问题转化为时，，令 ，再用导数求其极值，结合隐零点问题的求解方法即可得证. 【小问1详解】 当时，无意义； 当时， 若不是极值点； 若，故不是极值点． 综上所述，不是极值点． 【小问2详解】 时，，，