2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）8

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）8 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题8： （2023年闽J07莆田二检）已知函数． （1）若的最小值为0，求a；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数最值与极值的关系推得为的一个极值点，从而求得，再代回检验是否满足题意即可得解； （2）先利用同构法得到，再构造函数，结合（1）中结论证得，从而得到，由此得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又的最小值为0，所以为的一个极值点， 又因为，所以，解得， 检验：当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，满足题意， 综上，. 【小问2详解】 因为函数是增函数， 所以， 即， 令，则， 所以方程有解， 由（1）可知，，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． ] （2）设函数，若是增函数，求a的取值范围． （2023年闽J08莆田四检）已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解； （2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明. 【小问1详解】 因为，所以． 由在R上单调递减，得，即在R上恒成立． 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故，解得， 即a的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递减，且，， 故，使得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因为，，所以在上只有一个零点， 故函数在上只有一个零点． 因为，所以要证，即证，即证． 因为，得， 所以，故需证即可． 令，，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故．即， 原不等式即证. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的. ] （2）当时，求证在上只有一个零点，且． （2023年闽J10厦门二检）已知函数（a∈R）． （1）讨论的单调性：（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况，讨论函数的单调性； （2）由（1）的单调性可知，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理证明. 【小问1详解】 ， 当，则，则函数在上单调递减， 若，令，得，当，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，当，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，因为，所以， 因为， 设， ， 所以在上单调递减，所以，即， 由零点存在性定理知，使得， 取，则，且. 【点睛】本题考查函数的单调性，导数及其应用，考查推理，论证，运算能力，考查函数与方程思想，化归于转化思想，分类与整合思想，本题的关键是根据，构造函数，再根据导数判断， ] （2）证明：对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0． （2023年闽J11厦门四检）已知函数. （1）若，求的极值；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，利用导数可求出结果； （2）当时，利用导数可知，函数只有一个极值点，不符合题意；当时，利用导数以及零点存在性定理可知，，设，推出，，由推出，由推出，由推出的范围即可得解. 【小问1详解】 依题意，时，， 所以， 记，则， 当时，，单调递减；