2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）7

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）7 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题7： （2023年苏J21南通如皋）设函数． （1）求函数的单调递增区间；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，讨论a的正负，解不等式可得答案. （2）将问题转化为函数的导数在所给区间上小于等于0恒成立问题，由此求得导数，构造函数，利用导数判断函数单调性确定最值，进而需满足该最值小于等于0，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， ①当时，定义域为，令，则 ； ②当时，定义域为，令，则； 当，无意义. 综上：当时，增区间为； 当时，增区间为. 【小问2详解】 由题意得在恒成立，则 . 且在恒成立， . 令 ， 则，令，则恒成立， 故在上单调递减，即， 当时，，故，即， 从而在上单调递增，则需， 令，则， 函数在上单调递增，又， 所以. 【点睛】方法点睛：将函数在某区间上单调问题转化为其导数不等式恒成立问题，一般方法：（1）转化为求某函数的最值问题，结合构造导数，利用导数判断函数单调性，求得最值，解决问题；（2）参变分离，再构造函数，利用导数知识解决问题.（3）利用导数判断函数性质，利用函数图象，数形结合，解决问题. ] （2）若在区间上单调递减，其中e为自然对数的底数，求实数的取值范围． （2023年苏J22南通如皋）已知函数，其中a为实数. （1）若，求函数在区间上的最小值；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）0 （2）证明见解析 【解析】 【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值. 先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证. 【小问1详解】 当时，，，， 令，，则， 所以在上单调递增，故， 所以，在上单调递增， 所以当时，的最小值为． 【小问2详解】 依题意，在上存在两个极值点，，且． 所以在R上有两个不等的实根，，且． 令，， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故函数在处取得最小值， 要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得， 此时，故． 因为，是的两个不等的实根， 所以，即 要证：，即证：，只要证：． 下面首先证明：． 要证：，即证：， 因，在上单调递增， 只要证：，即证：， 令，， 则， 所以在上单调递减，，即． 因为，所以． 所以，故． 要证：，只要证：，即证：， 只要证：，即证：， 事实上，，显然成立，得证． 【点睛】方法点睛： 双变量问题常用解题策略： 1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法. 2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想. 3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想. ] （2）若函数在上存在两个极值点，，且.求证：. （2023年苏J23南通如皋）已知函数． （1）若对时，，求正实数a的最大值； （2）证明：；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求，并判断的单调性，分类讨论的正负，得到的单调性，求出时的范围，从而得到的最大值； （2）利用第（1）问的结论，可得到，令，不等式两边求和即可证明； （3）求并判断的单调性，结合零点存在性定理，要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解．令，， 求结合的单调性以及零点存在性定理，可知，由于形式相同，可构造函数，通过单调性可知且，代入可证明. 【小问1详解】 （） a为正实数， ∴函数在区间上单调递增，